求函数值域的
一、函数值域基本知识
7类题型和16种方法
1．定义：在函数y?f(x)中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数y?f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；
②当函数y?f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
③当函数y?f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数y?f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：
1.一次函数y?kx?b?k?0?的值域为R.
?4ac?b2?,???，当a?0时的值2.二次函数y?ax?bx?c?a?0?，当a?0时的值域为??4a?2?4ac?b2?域为???,?.，
4a??3.反比例函数y?k?k?0?的值域为?y?Ry?0?. x4.指数函数y?ax?a?0且a?1?的值域为?yy?0?. 5.对数函数y?logax?a?0且a?1?的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为??1,1?，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型
题型一：一次函数y?ax?b?a?0?的值域（最值）
1、一次函数：y?ax?b?a?0?当其定义域为R，其值域为R；
2、一次函数y?ax?b?a?0?在区间?m,n?上的最值，只需分别求出f?m?,f?n?，并比较它们的大小即可。若区间的形式为???,n?或?m,???等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二：二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的值域（最值）
1、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，当其定义域为R时，其值域为
?4ac?b2y? ?a?0???4a ?2?y?4ac?b ?a?0??4a?2、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在区间?m,n?上的值域(最值) 首先判定其对称轴x??b与区间?m,n?的位置关系 2abb（1）若???m,n?,则当a?0时，f(?)是函数的最小值，最大值为f(m),f(n)中
2a2ab较大者；当a?0时，f(?)是函数的最大值，最大值为
2af(m),f(n)中较小者。
b??m,n?,只需比较f(m),f(n)的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a（2）若?特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是?a,???,???,b?,?a,???,???,b?等时，要结合图像来确函数的值域；
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1：已知f??x2?2x?的定义域为??3,???，则f?x?的定义域为???,1?。 例2：已知f?x?1??x2?1，且x???3,4?，则f?x?的值域为?1,17?。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数y?2、形如：y?k(k?0)的定义域为?xx?0?，值域为?yy?0? xcx?d的值域： ax?b?b??（1）若定义域为?x?Rx???时，其值域为?y?Ry?a???（2）若x??m,n?时，我们把原函数变形为x?性），便可求出函数的值域。
c?? a?d?by，然后利用x??m,n?（即x的有界ay?c2x?31???11???,U3,???,?。 例3：函数y?的值域为；若时，其值域为x?1,2???????33g2x?1???511?例4：当x???3,?1?时，函数y?3?1?3xx?3?的值域??4,??。（2）已知f?x?1??，
22x?12?x??6??且x???3,2?，则f?x?的值域为???,??。
5??例5：函数y?1?2sinx?1???3?的值域为???,???3,???；若x??,5?3sinx?2??22??12??,?。，其值域为 ??23???dx2?ex?c题型四：二次分式函数y?2的值域
ax?bx?c一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
x2?x?12??例6：y?2；?1,???????,?
7?x?x?6?x2?x?2例7：y?；?y?Ry?1?
x2?13x?33?例8：y?2；??,?
x?4?44?x?1例9：求函数y?2 x???1,???的值域
x?2x?1解：由原函数变形、整理可得：yx2??2y?1?x?y?1?0
求原函数在区间??1,???上的值域，即求使上述方程在??1,???有实数解时系数y的取值范围
当y?0时，解得：x?1???1,???也就是说，y?0是原函数值域中的一个值…①
?0?V1?即要满足f??1??0或?2y?1解得：0?y?……②
8??2y??1??1?综合①②得：原函数的值域为：?0,?
?8?题型五：形如y?ax?b?cx?d的值域这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。
例10：求函数y?2x?41?x在x???8,1?时的值域??4,4? 题型六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11：y?x?1?x?2?3,??? 例12：y??x2?4x?1???,5?
当y?0时，上述方程要在区间??1,???上有解，