求函数值域的
一、函数值域基本知识
7类题型和16种方法
1.定义:在函数y?f(x)中,与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。
2.确定函数的值域的原则
①当函数y?f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;
②当函数y?f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;
③当函数y?f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
④当函数y?f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地,常见函数的值域:
1.一次函数y?kx?b?k?0?的值域为R.
?4ac?b2?,???,当a?0时的值2.二次函数y?ax?bx?c?a?0?,当a?0时的值域为??4a?2?4ac?b2?域为???,?.,
4a??3.反比例函数y?k?k?0?的值域为?y?Ry?0?. x4.指数函数y?ax?a?0且a?1?的值域为?yy?0?. 5.对数函数y?logax?a?0且a?1?的值域为R.
6.正,余弦函数的值域为??1,1?,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型
题型一:一次函数y?ax?b?a?0?的值域(最值)
1、一次函数:y?ax?b?a?0?当其定义域为R,其值域为R;
2、一次函数y?ax?b?a?0?在区间?m,n?上的最值,只需分别求出f?m?,f?n?,并比较它们的大小即可。若区间的形式为???,n?或?m,???等时,需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二:二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的值域(最值)
1、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),当其定义域为R时,其值域为
?4ac?b2y? ?a?0???4a ?2?y?4ac?b ?a?0??4a?2、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在区间?m,n?上的值域(最值) 首先判定其对称轴x??b与区间?m,n?的位置关系 2abb(1)若???m,n?,则当a?0时,f(?)是函数的最小值,最大值为f(m),f(n)中
2a2ab较大者;当a?0时,f(?)是函数的最大值,最大值为
2af(m),f(n)中较小者。
b??m,n?,只需比较f(m),f(n)的大小即可决定函数的最大(小)值。 2a(2)若?特别提醒:
①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②若给定的区间形式是?a,???,???,b?,?a,???,???,b?等时,要结合图像来确函数的值域;
③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1:已知f??x2?2x?的定义域为??3,???,则f?x?的定义域为???,1?。 例2:已知f?x?1??x2?1,且x???3,4?,则f?x?的值域为?1,17?。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数y?2、形如:y?k(k?0)的定义域为?xx?0?,值域为?yy?0? xcx?d的值域: ax?b?b??(1)若定义域为?x?Rx???时,其值域为?y?Ry?a???(2)若x??m,n?时,我们把原函数变形为x?性),便可求出函数的值域。
c?? a?d?by,然后利用x??m,n?(即x的有界ay?c2x?31???11???,U3,???,?。 例3:函数y?的值域为;若时,其值域为x?1,2???????33g2x?1???511?例4:当x???3,?1?时,函数y?3?1?3xx?3?的值域??4,??。(2)已知f?x?1??,
22x?12?x??