1．3.3 导数的实际应用
明目标、知重点 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
导数在实际问题中的应用
1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．
2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值．
[情境导学]
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题． 探究点一 面积、体积的最值问题
思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？
答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)． (2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围． (3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值． (4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 128
解 设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为
2
xS(x)＝(x＋4)?
?128＋2?－128
?
?x?
512
＝2x＋＋8，x>0.
x
求导数，得
S′(x)＝2－5122. x512
令S′(x)＝2－2＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
x128128
于是宽为＝＝8.
x16当x∈(0,16)时，S′(x)<0； 当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．
反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．
答案 32,16
512
解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，
x因此新墙壁总长度L＝2x＋令L′＝0，得x＝±16. ∵x>0，∴x＝16.
512512(x>0)，则L′＝2－2. xx512
当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．
16探究点二 利润最大问题
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解 由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
2
y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2
43
2??r＝0.8π?－r?，0 ?3? 3 令f′(r)＝0.8π(r－2r)＝0. 当r＝2时，f′(r)＝0. 当r∈(0,2)时，f′(r)<0； 当r∈(2,6)时，f′(r)>0. 因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低． ∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 半径为6 cm时，利润最大． 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数． 跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)，其中3 x－3 2 a2 格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11， 2所以a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 2 y＝＋10(x－6)， x－3 a2 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)] x－3 2 ＝2＋10(x－3)(x－6)3 从而，f′(x)＝10[(x－6)＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 2,