初中数学专项训练：实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗
圃。
（1） 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的
函数关系式；
（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），
根据题意，得：y?x(18?x)??x2?18x； 又∵??x＞0,?0＜x＜18
?18?x＞0（2）∵y?x(18?x)??x2?18x中，a= -1＜0，∴y有最大值，
b184ac?b20?182???9时，ymax?即当x????81 2a2?(?1)4a4?(?1)故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠
墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（（米），
根据题意，得：y?x(50?x）250?x1)??x2?25x； 22?x＞0?又∵?50?x,?0＜x＜50
＞0??2∵y?x(50?x11)??x2?25x中，a=?＜0，∴y有最大值， 222b即当x????2a2512?(?)2?25时，ymax4ac?b20?252625???
14a24?(?)2 试卷第1页，总1页
故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为
625平方米。 2点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
由题意得： ()?(x4220?x2)?17 4解得： x1?16,x2?4
当x1?16时，20-x=4；当x2?4时，20-x=16
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。 （2）不能
理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为面积为ycm，
根据题意，得：y?x2?(5?x)2?2x2?10x?25，
∵y?x2?(5?x)2?2x2?10x?25中，a= 2＞0，∴y有最小值，
2
20?4x?(5?x)cm，围成两个正方形的4b?1054ac?b24?2?25?10225???时，ymin???即当x??=12.5＞12,故两个正2a2?224a4?22方形面积的和不可能是12cm.
2
练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.
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二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
图（1） 图（2）
y=-12x. 2【解析】
2
试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax，利用待定系数法求解.
试题解析：设此函数解析式为：y=ax，a1那么（2，-2）应在此函数解析式上． 则-2=4a
20；
1， 212那么y=-x．
2即得a=-考点：根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关
2系是y??x?2x?5.请回答下列问题： 4
(1)柱子OA的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少
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