初中数学:实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)

初中数学专项训练:实际问题与二次函数

一、利用函数求图形面积的最值问题

一、围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗

圃。

(1) 设矩形的一边长为x(米),面积为y(平方米),求y关于x的

函数关系式;

(2) 当x为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 分析:关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。 解:(1)设矩形的长为x(米),则宽为(18- x)(米),

根据题意,得:y?x(18?x)??x2?18x; 又∵??x>0,?0<x<18

?18?x>0(2)∵y?x(18?x)??x2?18x中,a= -1<0,∴y有最大值,

b184ac?b20?182???9时,ymax?即当x????81 2a2?(?1)4a4?(?1)故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。

点评:在回扣问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠

墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大?

分析:关键是明确问题中的变量是哪两个,并能准确布列出函数关系式 解:设养鸡场的长为x(米),面积为y(平方米),则宽为((米),

根据题意,得:y?x(50?x)250?x1)??x2?25x; 22?x>0?又∵?50?x,?0<x<50

>0??2∵y?x(50?x11)??x2?25x中,a=?<0,∴y有最大值, 222b即当x????2a2512?(?)2?25时,ymax4ac?b20?252625???

14a24?(?)2 试卷第1页,总1页

故当x=25米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为

625平方米。 2点评:如果设养鸡场的宽为x,上述函数关系式如何变化?请读者自己完成。

3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.

(1)解:设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x)cm

由题意得: ()?(x4220?x2)?17 4解得: x1?16,x2?4

当x1?16时,20-x=4;当x2?4时,20-x=16

答:这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。 (2)不能

理由是:设第一个正方形的边长为xcm,则第二个正方形的边长为面积为ycm,

根据题意,得:y?x2?(5?x)2?2x2?10x?25,

∵y?x2?(5?x)2?2x2?10x?25中,a= 2>0,∴y有最小值,

2

20?4x?(5?x)cm,围成两个正方形的4b?1054ac?b24?2?25?10225???时,ymin???即当x??=12.5>12,故两个正2a2?224a4?22方形面积的和不可能是12cm.

2

练习1、如图,正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上,若AE=x,正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式;

(2)正方形EFGH有没有最大面积?若有,试确定E点位置;若没有,说明理由.

试卷第2页,总2页

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是 .

图(1) 图(2)

y=-12x. 2【解析】

2

试题分析:由图中可以看出,所求抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,可设此函数解析式为:y=ax,利用待定系数法求解.

试题解析:设此函数解析式为:y=ax,a1那么(2,-2)应在此函数解析式上. 则-2=4a

20;

1, 212那么y=-x.

2即得a=-考点:根据实际问题列二次函数关系式.

练习1

某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状如图(1)所示.图(2)建立直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关

2系是y??x?2x?5.请回答下列问题: 4

(1)柱子OA的高度是多少米?

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米?

(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?

2.一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少

试卷第3页,总3页

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