《线性代数》模拟试题（四）
一、选择题（每小题4分，共24分）
1. 设A,B,C均为n阶方阵，若由AB?AC能推出B?C，则A应满足下列条件中的（ ）. （A）A?0 （B）A?0 （C）A?0 （D）A?0 2. 设A，B均为n阶矩阵，k为正整数，下列各式中不正确的是（ ）.
TT（A）A?B?A?B （B）A?B?A?B
（C）(AB)k?AB （D）AB?AB
kk?10x111?1?13. 已知A?，则A中的一次项系数是（ ）.
1?11?11?1?11 （A） 4 （B）1 （C） ?4 （D）?1
?a11?4. 设A?(aij)3?3,B??a31?a?21a12a31a223a11?a13??100??103??????3a31?a33?,P1??001?,P2??010?, 那么（ ）.
?001??010?3a21?a23?????? （A）AP1P2?B （B）P2P1A?B （C）P1AP2?B （D）P2AP1?B 5. 设A,B都是n阶非零矩阵，且AB?0，则A和B的秩（ ）.
（A）必有一个等于零 （B）都小于n
（C）一个小于n,一个等于n （D）都等于n
6. 设A、B为n阶方阵，且A与B相似，E为n阶单位阵，则（ ）.
（A）?E?A??E?B （B）A与B有相同的特征值和特征向量 （C）A与B相似于一个对角矩阵 （D）对任意常数t，tE?A与tE?B相似 二、填空题（每小题4分，共24分）
?1?20????11. 已知A??210?，则A? . ?002????421???2. 若对A??124?，有R(A)?2，则t? .
?14t???3. 向量组（Ⅰ）：α1,α2,α3，（Ⅱ）：α1,α2,α3,α4，（Ⅲ）：α1,α2,α3,α5，如果R(Ⅰ) = R(Ⅱ) =3, R(Ⅲ) = 4, 则向量组α1,α2,α3,α5?α4的秩= .
4. 若四阶方阵A的列向量组α1,α2,α3,α4满足条件2α1?α2?α3?α4?0，则AX?α1的一个解
为 .
5. 已知n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a(a?0)，则数 一定是2A?1?E的特征值.
2226. 设 f(x1,x2,x3)?x1?4x2?4x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型， 则t的取值范围
为 .
三、计算题（8+10+12+12=42分）
?200??11??????1. 设A??013?，B??20?，且 AX?B，求X.
?025??00??????2??3??2??4?????????2. 求向量组α1??0?，α2??1?，α3??1?，α4??2?的秩和一个最大无关组，并把其他向量
?2??1??0??0?????????表示成该最大无关组的线性组合.
3. 设非齐次线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）分别为
?2x4??6,?x1?x2?x1?mx2?x3?x4??5,??nx2?x3?2x4??11,（Ⅰ）?4x1?x2?x3?x4?1, （Ⅱ）??3x?x?x??3,x3?2x4??t?1,23?1?（1） 求方程组（Ⅰ）的通解；
（2） 方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t取何值，方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）同解.
2224. 设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3，
（1）求一个正交变换化二次型为标准形； （2）设A为上述二次型的矩阵，求A. 四、证明题（5+5分）
1. 设n阶方阵A?0，但存在正整数m?2，使得A?0，证明A不能相似于对角阵.
2. 设α1,α2,?,αn?1为n?1个线性无关的n维列向量，ξ1,ξ2是和α1,α2,?,αn?1均正交的n维列向量，证明ξ1,ξ2线性相关.
《线性代数》模拟试题（四）参考答案 一、选择题（每题4分，共24分）
1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. D 二、填空题（每题4分，共24分）
1. 2. 9 3. 4 4. 5. 6. 三、计算题（10+10+10+12=42分）
1. 解：由 得， ，即 ，因为 ， 所以 . 2. 解： ,
m10所以 ， 是一个最大无关组，并且 ， . 3. 解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵作初等行变换 ，
由此得方程组（Ⅰ）的通解为 .
（2）当(Ⅰ)和(Ⅱ)同解时，(Ⅰ)的通解也是(Ⅱ)的通解，将(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ)，即 ，
从中解得 ， ， .
另一方面，将 ， ， 代入（Ⅱ）后，其增广矩阵 ，
的行标准形与 的行标准形一样，故当 ， ， 时,(Ⅰ)和(Ⅱ)同解. 4. 解： ， ， （1） ，
所以 的特征值为 ， ， ， 由 得对应于 的特征向量 ， 由 得对应于 的特征向量 ， 由 得对应于 的特征向量 ， 取 ， ， ，令 ， 则得
所求的正交变换 即 ，且 .
（2） 根据（1）知， , 所以
.
四、证明题（5+5=10分）
1. 证： 设 是 的任一特征值，则 是 的特征值，而 ，所以 ，即 的特征值
全为零，若 相似于对角阵，则存在可逆矩阵 ，使得 ，从而有 ，这与条件 矛盾，所以 不能相似于对角阵.
2. 证：设 ，则 是一个 矩阵，因为 线性相关，所以 ，故 元线性方程组 的解空间的维数为1. 又 是和 均正交的，所以 是 的解，因此 必线性相关.