因动点产生的等腰三角形问题

个性化教案 因动点产生的等腰三角形问题 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点 初中数学 全国 适用年级 初中三年级 课时时长(分钟) 60分钟 等腰三角形、动点问题、二次函数综合 掌握因动点产生的等腰三角形问题的解题方法 存在性问题的分析与解决方法 分类讨论、数形结合方法的渗透 教学过程

因动点产生的等腰三角形问题

例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,

且∠PDQ=90°.

(1)求ED、EC的长;

(2)若BP=2,求CQ的长; (3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.

图1 备用图

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例2 2012年扬州市中考第27题

如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

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例3 2012年临沂市中考第26题

如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

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例4 2011年盐城市中考第28题

如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y?4x 的图象交于点A,且

3与x轴交于点B.

(1)求点A和点B的坐标; (2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

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例5 2010年南通市中考第27题

如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

(3)若y?12,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少? m

图1

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例 6 2009年江西省中考第25题

如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.

(1)求点E到BC的距离; (2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.

①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;

②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.

图1 图2 图3

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