1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)
[学习目标]
1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题． [知识链接]
1．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？ 答 分10步．
第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种； 第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种； ?
第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．
故共有乘客下车的可能方式有5×5×5×?×5 ,10个＝5(种)．
2．从1，2，3，4，7，9六个数中，任意两个不同数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数有多少？
答 (1)当取的两数中有1时，且1只能为真数，此时不管取哪一个数为底数对数的值都为0.
(2)当两数都不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种． 其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93， ∴即所有不同的对数的值的个数为1＋5×4－4＝17. [预习导引]
1．两计数原理的联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题． 2．两计数原理的区别
分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分类要做到不重不漏；分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，分步要做到步骤完整.
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要点一 两个计数原理在排数中的应用 例1 数字不重复的四位偶数共有多少个？
解 (1)0在末位时，十、百、千分别有9，8，7种排法，共有9×8×7＝504(个)． (2)0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)，其余两位分别有8，7两种排法． ∴共有4×8×8×7＝1 792(个)．
由(1)(2)知，共有符合题意的偶数为504＋1 792＝2 296(个)．
规律方法 排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决．此题中，由于数字0的出现，又进行了分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用． 跟踪演练1 用0，1，?，9这十个数字，可以组成多少个： (1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
解 由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．
(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．
(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)． (3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择． 由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)． 要点二 抽取(分配)问题
例2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 答案 C
解析 法一 (直接法)
以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：
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第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)； 第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)．
综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)． 法二 (间接法)
先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．
规律方法 解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用例举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪演练2 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
解 法一 (以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择．
根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．
法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号1，2，3，4，5；分成以下10类： 第一类：空盒子标号为(1，2)，选法有3×2×1＝6(种)； 第二类：空盒子标号为(1，3)，选法有3×2×1＝6(种)； 第三类：空盒子标号为(1，4)，选法有3×2×1＝6(种)．
分类还有以下几种情况：(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)；共10类，每一类都有6种方法．
根据分类加法计数原理得：共有方法数N＝6＋6＋?＋6＝60(种)． 要点三 涂色问题
例3 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分
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