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第三讲 导数的简单应用
必记公式]
1．基本初等函数的八个导数公式
原函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈R) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x 2.导数四则运算法则 (1)f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
?f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x?
?′＝(3)?(g(x)≠0)． 2g?x?[g?x?]??
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝axln_a f′(x)＝ex 11f′(x)＝xlogae＝xln a 1f′(x)＝x 重要概念]
1．切线的斜率
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0(f′(x)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．
3．函数的极值
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设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)
4．函数的最值
将函数y＝f(x)在a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
失分警示]
1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．
2．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．
3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．
考点
典例示法
典例1 (1)2016·山东高考]若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sinx C．y＝ex
B．y＝ln x D．y＝x3
导数的几何意义
解析] 设函数y＝f(x)图象上两点的横坐标为x1，x2.由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1(x1≠x2)即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，f′(0)·f′(π)＝－1，故A满足；y＝f(x)＝ln x11的导函数为f′(x)＝x，f′(x1)·f′(x2)＝xx>0，故B不满足；y＝f(x)
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＝ex的导函数为f′(x)＝ex，f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故C不满足；
2y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，f′(x1)·f′(x2)＝9x21x2≥0，故D
不满足．故选A.
答案] A
1
(2)2015·陕西高考]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析] y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲1
线y＝x(x>0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y11
＝x(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝x(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，1
b)在y＝x上，所以b＝1，故P(1,1)．
答案] (1,1)
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
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