例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1
个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）． （1）求当t为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．
A
E O D F
B
C 例2. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
当M点在
（2）设BM?x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．
A D
N
B
M
C
例3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B动 ?45?．点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （09年济南中考） （1）求BC的长。 A D （2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
B M
例1. 解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）
由题意可知：ED=t，BC=8，FD= 2t-4，FC= 2t．
F
A
E
N C
∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴
D
FDED?． FCBC∴
2t?4t?．解得t=4． 2t8B
图2
C
∴当t=4时，两点同时停止运动；……（3分）
（2）∵ED=t，CF=2t， ∴S=S△BCE+ S△BCF=
11×8×4+×2t×t=16+ t2． 22即S=16+ t2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）
（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF2=(2t?4)?t?5t?16t?16，
EC2=4?t?t?16，∴5t?16t?16=t?16．∴t=4或t=0（舍去）； ②若EC=FC时，∵EC2=4?t?t?16，FC2=4t2，∴t?16=4t2．∴t?③若EF=FC时，∵EF2=(2t?4)?t?5t?16t?16，FC2=4t2，
2∴5t?16t?16=4t2．∴t1=16?83（舍去），t2=16?83．
22222222222222243； 3∴当t的值为4，43，16?83时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三3角形；………………………………………………………………………………（9分）
（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，
BCCF??2， CDED∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10分） ∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC． ∵BE2=t?16t?80，∴t?16t?80=64． ∴t1=16?83（舍去），t2=16?83．
∴当t=16?83时，∠BEC=∠BFC．……………………………………………（12分）
例2. 解：（1）在正方形ABCD中，
22AB?BC?CD?4，?B??C?90°， AM⊥MN， ??AMN?90°，
??CMN??AMB?90°，
在Rt△ABM中，?MAB??AMB?90°， ??CMN??MAB，
?Rt△ABM∽Rt△MCN，
（2）Rt△ABM∽Rt△MCN， ABBM4x??，??， MCCN4?xCN?x2?4x?CN?，
4A D
N
B
M
C
?y?S梯形ABCN?1??x2?4x112???4?·4??x2?2x?8???x?2??10， 2?422?当x?2时，y取最大值，最大值为10． （3）
?B??AMN?90°，
AMAB， ?MNBM?要使△ABM∽△AMN，必须有
由（1）知
AMAB， ?MNMC?BM?MC，
?当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x?2．
例3.解：（1）如图①，过A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，则四边形ADHK是矩形
∴KH?AD?3 ．在Rt△ABK中，AK?ABsin45??42．2?4 2BK?ABcos45??422?4 2在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC?52?42?3 ∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10 A D B C B K H
（图①）
A
D
N
C
G （图②）
M
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BG?AD?3 ∴GC?10?3?7
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN
∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C
∴△MNC∽△GDC