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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
自主广场
我夯基 我达标
1．下列物理量：①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
思路解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量. 答案：D
2．下列说法中正确的是( )
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度为零
C.长度相等的两个向量是相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量 思路解析：注意相等向量和共线向量的区别和联系，也需注意特殊向量——零向量. 答案：B
3．下列说法中不正确的是( ) A.向量AB的长度与向量BA长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
思路解析：共线向量只与方向有关，只要是方向相同或相反的向量都是共线向量，所以D不正确. 答案：D
4．下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB与
CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c;④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形. 正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D. 3
思路解析：①正确；②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；③不正确，假设向量a为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立；④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形
?AB∥DC且AB=DC，即AB和DC相等.
答案：C
5．下列说法中正确的是( )
A.若|a|＞|b|，则a＞b B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a∥b D.若a≠b，则a与b不是共线向量
桑 水
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思路解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a=b需且只需满足两条：a∥b与|a|=|b|，所以B不正确，C正确；a∥b是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确. 答案：C
6．设O是正六边形ABCDEF的中心，那么图2-1-9中分别与向量OA,OB,OC相等的向量有_____________个( )
图2-1-9
A.1，2，3 B.2，2，1 C.2，2，3 D.3，3，3 思路解析：结合图形进行求解会发现
OA?DO?CB；
OB?EO=DC;CO?OF=BA=DE.
答案：C
7.以下说法正确的是_________________.
①单位向量均相等 ②单位向量共线 ③共线的单位向量必相等 ④单位向量的模相等 思路解析：单位向量也是向量，它也是有大小和方向两个方面，由单位向量的定义知只有④正确，其他的答案都没有注意到单位向量的方向. 答案：④
8.△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量AB与AC的关系是_______________. 思路解析：因为△ABC是等腰三角形，所以|AB|=|AC|. 答案：模相等
9.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向，
a与a0的长度_______________. |a|思路解析：长度等于1的向量叫做单位向量，a的单位向量与a在同一直线上，且方向相同. 答案：相同 相等
10.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是_____________.
思路解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小. 答案：①③④
我综合 我发展
11.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为__________________.
(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为__________________.
(3)把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为__________________.
桑 水
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思路解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点. (1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.
(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故只有两个，起点为P，则终点应为直线l上与P的距离相等的两个点.
(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为直线l上的任意一点. 答案：（1）圆 （2）两点 （3）在直线l上
12.如图2-1-10，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°.
图2-1-10
(1)分别写出图中与向量DE、FD长度相等的向量； (2)分别写出图中与向量DE、FD相等的向量； (3)分别写出图中与向量DE、FD共线的向量.
思路分析：相等向量要考虑两个向量的大小、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向. 解：(1)|DE|=|BF|=|FC|=|AF|；
|DA|=|BD|=|FE|=|FD|=|CE|=|EA|=|BD|. (2) DE=FC=BF;FD=CE=EA.
(3)与DE共线的有:FC、BF、BC、CF、FB、CB；与FD共线的有：EA、CE、
CA、AE、EC、AC.
13.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1 0002 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?
思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.
解：如下图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.由题意知△ABC是正三角形，
∴AC=2 000 km.
桑 水
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又∵∠ACD=45°，CD=1 0002km， ∴△ACD是直角三角形.
∴AD=1 0002 km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地1 0002 km.
14.在如图2-1-11的方格纸上，已知向量a. (1)试以B为起点画一个向量b，使b=a.
(2)在图2-1-11中，画一个以C为起点的向量c，使|c|=2，并说出c的终点的轨迹是什么?
图2-1-11
思路分析：用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度.
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等（如下图）.
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆.
桑 水