第27课时 基本不等式的应用
知识点一 用基本不等式求最值
1．若点(a，b)在直线x＋2y＝3上移动，则2＋4的最小值是( ) A．8 B．6 C．42 D．32 答案 C
解析 点(a，b)在直线x＋2y＝3上，则a＋2b＝3， 所以2＋4＝2＋2≥22
aba2baba＋2b＝22＝42，
3
3
当且仅当a＝2b＝时等号成立．故选C．
22．下列各式中最小值等于2的是( )
x2a1
A．＋ B．x＋(x≥4) 2axxC．x＋x＋3 D．3＋3 答案 D
解析 A不正确，例如x，a的符号相反时，式子的最小值不可能等于2．B不正确，∵y11171211112
＝x＋在[4，＋∞)上递增，它的最小值是4＋＝．C不正确，∵x＋x＋3＝x＋＋≥，x44244故最小值不是2．3＋3≥23×3＝2(当且仅当3＝3，即x＝0时等号成立)．故选D．
11
3．已知m＞0，n＞0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是( )
x－x2
x－xx－xx－xmnA．4 B．5 C．8 D．10 答案 B
11m＋nm＋nnm解析 依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当mmnmnmn1
＝n＝时取等号．故选B．
2
4．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( ) 1132A． B． C． D． 3243答案 B
11931
解析 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成33442
立．
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36 答案 B
解析 (1＋x)(1＋y)≤
＋x＋
2
＋y2
2＋＝
x＋y2
2
＝
2＋82
＝25，因此当且仅当2
1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25．故选B．
知识点二 基本不等式的实际应用
6．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件 答案 D
10000
解析 设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元．
n10000根据题意得y＝100n＋≥2000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1000
n件．故选D．
7．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，
(1)求x的取值范围；
(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0．1米)．
144
解 (1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，
x144
则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×．
x144
令y＝x＋2×≤44(x＞0)，解得8≤x≤36．
x则x的取值范围是[8，36]．
288
(2)由基本不等式，得y＝x＋≥242．
x288
当且仅当x＝，即x≈17．0时，等号成立，
x则y最小值＝242≈34．0． 即最少需要约34．0米铁丝网．
易错点 忽略等号成立的一致性
11
8．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．
xy11?11?易错分析 易错解为＋＝(x＋2y)?＋?≥22xy·2
1
xy?xy?
xy＝42．在求解过程中使用
11
了两次基本不等式：x＋2y≥22xy，＋≥21
xyxy，但这两次取“＝”需满足x＝2y与x＝y，
自相矛盾，所以“＝”取不到．
解 x＋2y＝1，x＞0，y＞0，
11x2yx2y?11?∴＋＝(x＋2y)?＋?＝3＋＋≥3＋22当且仅当＝，即x＝2y时，取“＝”．
xy?xy?
yxyx?x＝2－1，
?
∵x＋2y＝1，∴?2
y＝1－.?2?
∴当且仅当x＝2－1，y＝1－
211
时，＋有最小值，为3＋22． 2xy
一、选择题
1．已知x，y是正数，且xy＝4，则A．1 B．2 C．22 D．2 答案 B 解析 选B．
2．下列函数中，最小值为2的是( )
yx＋取得最小值时，x的值是( ) xyyx＋≥2xyxy＝24＝22，当且仅当
4
yx＝，即x＝y＝2时取得最小值．故xy