勾股定理及逆定理的运用
一、学习目标：
1. 掌握、理解勾股定理的内容，并会运用勾股定理解决一些实际问题。
2. 能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，并能实际应用。 3. 能区分勾股定理与勾股定理逆定理的条件与结论。
4. 了解勾股数的定义及其探索规律，了解定理的含义及逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
二、重点、难点：
1. 勾股定理的应用。
2. 数学思想方法的掌握，勾股定理与方程的思想及类讨论思想。
三、考点分析：
勾股定理及其逆定理是几何中的重要定理，其应用极其广泛，历年来都是中考命题的热点。
典型例题
知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理
例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF
思路分析：
1）题意分析：本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理。
2）解题思路：可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判断。 解答过程：
在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得
EF?AE2?AF2?22?12?5
13，CD?25
同理AB?22，GH?222222(5)?(22)?(13)计算发现，即AB?EF?GH，根据勾股定理的逆定
理得到以AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。故选B。
解题后的思考：
1. 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。因此，解题时一定要认真分析题目所给条件，看是否可用勾股定理来解。
2. 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为“c”就是斜边
222而“固执”地运用公式c?a?b，其实，同样是△ABC，∠C不一定就等于90°，c不一定就是斜边，△ABC不一定就是直角三角形。
3. 直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的，区别在于勾股定理的运用是一个从“形”
222（一个三角形是直角三角形）到“数”（c?a?b）的过程，而直角三角形的判定是一222个从“数”（一个三角形的三边满足c?a?b的条件）到“形”（这个三角形是直角三角
形）的过程。
4. 在应用勾股定理解题时，要全面地考虑问题，注意问题中存在的多种可能性，避免漏解。
例2：如图，有一块直角三角形纸板ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到点E处，则CD等于（ ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 思路分析：
1）题意分析：本题考查勾股定理的应用
2）解题思路：本题若直接在△ACD中运用勾股定理是无法求得CD的长的，因为只知道一条边AC的长，由题意可知，△ACD和△AED关于直线AD对称，因而△ACD≌△AED。进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，ED⊥AB，设CD=ED=xcm，则在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=62+82=100，得AB=10cm，在Rt△BDE中，有x2+（10－6）2＝（8－x）2。解得x=3。 解答过程：B 解题后的思考：
勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。
方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。
例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”
“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，
你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。” “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。
几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？ 思路分析：
1）题意分析： 本题考查勾股定理的应用
2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答 解答过程：
，c， 设直角三角形的三边长分别为a，b如图，则a?3米，b?c?10米。
b a c
2
222又c?b?a，即?c?b???c?b??a，所以
a2329c?b???c?b1010（米）。
11?9?11b?[(c?b)?(c?b)]??10???422?10?20（米）解得。
解题后的思考：
这是一道阅读理解类试题。这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查阅读能力，而且还综合考查数学意识和数学综合应用能力，尤其考查数学思维能力和创新意识。解题时，一般是通过阅读，理解概念，掌握方法，领悟思想，抓住本质，然后才能解答问题。
知识点二、构造直角三角形使用勾股定理
例4：如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角
C1处。
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当
AB?4，BC?4，CC1?5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点
B1到最短路径的距离。