人教版2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末综合检测 苏教版选修1-1

第二章 圆锥曲线与方程

(时间:120分钟;满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上)

y2

1.椭圆+=1的焦距为6,则k的值为________.

20k2

解析:由已知2c=6,∴c=3,而c=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.

答案:11或29

22

2.双曲线mx+y=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=________.

解析:由题意知,m<0,双曲线mx+y=1化为标准形式y-=1,故a=1,b=-

1-2

2

2

x2

x2

22

m1

m,所以a=1,b=1

答案:-

4

1

-,则由2

m11-=2×2,解得m=-. m4

3.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则

该椭圆的离心率为________.

解析:不妨设椭圆方程为

xy2+ab2

22

??a=2

=1(a>b>0),则有?a??c-c=1

2

2b2

,即

??a=2, ①

?b??c=1, ②

2

2b2

2

. 2

2

2

①÷②得e=答案:

2 2

2

4.与x-4y=1有相同的渐近线,且过M(4,3)的双曲线方程为________. 解析:设方程为x-4y=λ(λ≠0),将M(4,3)代入方程得λ=4,所以方程为-

4

y2=1.

答案:-y=1

4

22

5.已知双曲线3x-y=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________.

解析:即求离心率,双曲线化为标准方程-=1,

39

2

x2

x2

2

x2y2

1

可知a=3,c=a+b=3+9=23,e==答案:2

22

c23

=2.

a3

6.若抛物线y=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为________.

62解析:椭圆+=1的右焦点为(2,0),而抛物线y=2px的焦点为(,0),则=2,

6222

故p=4.

答案:4

→→2

7.设O为坐标原点,F为抛物线y=4x的焦点,A是抛物线上一点,若OA·AF=-4,则点A的坐标是________.

2

y2y200→y0→→→

解析:由题意得F(1,0),设A(,y0),则OA=(,y0),AF=(1-,-y0),由OA·AF444=-4,解得y0=±2,此时点A的横坐标为=1,故点A的坐标是(1,±2).

4

答案:(1,±2)

8.设P是椭圆+=1上的任意一点,又点Q的坐标为(0,-4),则PQ的最大值为

2516

________.

y296422222

解析:设P的坐标(x,y),则PQ=x+(y+4)=25(1-)+(y+4)=-(y-)

16169

625

+(-4≤y≤4), 9

2

当y=4时,PQ最大,

此时PQ最大,且PQ的最大值为

422

25×1-+4+4=8.

16

答案:8 9.以双曲线-=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是________.

916

4

解析:由题意知圆心坐标应为(5,0).又因为点(5,0)到渐近线y=±x的距离为4,

3

22

所以圆的方程为x+y-10x+9=0.

22

答案:x+y-10x+9=0

10.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为3,则这个椭圆方程为________.

2

x2y2

x2y2

2

ppy20

x2y2

x2y2

??a-c=3

解析:由题意知?c1

=??a2

x2

y2

y2

x2

,解得?

?a=23 ?c=3

椭圆方程为+=1或+=1.

129129答案:+=1或+=1 129129

→→→→11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为________.

→→→→

解析:设P(x,y),M(-2,0),N(2,0),则MN=(4,0),|MN|=4,MP=(x+2,y),NP=(x-2,y);

2

x2y2y2x2

→→→→

由|MN|·|MP|+MN·NP=0, 得4x+22+y2+4(x-2)=0,

2

化简整理得y=-8x.

2

答案:y=-8x

12.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q→→→→

与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP=2PA且OQ·AB=1,则点P的轨迹方程是________.

解析:设P(x,y),则Q(-x,y),又设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0.

3→→→→

于是BP=(x,y-b),PA=(a-x,-y),由BP=2PA可得a=x,b=3y,所以x>0,y>0.

2

3→

又AB=(-a,b)=(-x,3y),

232→→2

由OQ·AB=1可得x+3y=1(x>0,y>0).

2

322

答案:x+3y=1(x>0,y>0)

2

2

13.抛物线y=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,则m的取值范围是____________.

解析:法一:设两对称点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)

1

且AB所在直线的方程可设为:y=-x+b,

m代入y=x,得y+my-mb=0, ∴y1+y2=-m,

2

且Δ=m+4mb>0.①

设A、B的中点为(x0,y0),则y0=

=-, 22

5

又A、B的中点在直线y=m(x-3)上,所以x0=,

2

1

又(x0,y0)在直线y=-x+b上.

22

y1+y2mm1m5

∴b=y0+x0=-+,

m22m2

代入①并整理得:m<10, ∴-10<m<10,

∴m的取值范围是(-10,10).

法二:设两对称点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),且A、B的中点为(x0,y0),依题意,则有:

?=x ②?yy-y1

=-?x-xm ③

?y+y=2y , ④?x+x=2x ⑤y=mx-3 ⑥??y<x ⑦

2

21

22

1110

222

000

20

0

y21=x1 ①

①-②得:(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2,

3

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