第二章 圆锥曲线与方程
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)
y2
1．椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
20k2
解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.
答案：11或29
22
2．双曲线mx＋y＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
解析：由题意知，m<0，双曲线mx＋y＝1化为标准形式y－＝1，故a＝1，b＝－
1－2
2
2
x2
x2
22
m1
m，所以a＝1，b＝1
答案：－
4
1
－，则由2
m11－＝2×2，解得m＝－. m4
3．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则
该椭圆的离心率为________．
解析：不妨设椭圆方程为
xy2＋ab2
22
??a＝2
＝1(a>b>0)，则有?a??c－c＝1
2
2b2
，即
??a＝2， ①
?b??c＝1， ②
2
2b2
2
. 2
2
2
①÷②得e＝答案：
2 2
2
4．与x－4y＝1有相同的渐近线，且过M(4，3)的双曲线方程为________． 解析：设方程为x－4y＝λ(λ≠0)，将M(4，3)代入方程得λ＝4，所以方程为－
4
y2＝1.
答案：－y＝1
4
22
5．已知双曲线3x－y＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．
解析：即求离心率，双曲线化为标准方程－＝1，
39
2
x2
x2
2
x2y2
1
可知a＝3，c＝a＋b＝3＋9＝23，e＝＝答案：2
22
c23
＝2.
a3
6．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
62解析：椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y＝2px的焦点为(，0)，则＝2，
6222
故p＝4.
答案：4
→→2
7．设O为坐标原点，F为抛物线y＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是________．
2
y2y200→y0→→→
解析：由题意得F(1,0)，设A(，y0)，则OA＝(，y0)，AF＝(1－，－y0)，由OA·AF444＝－4，解得y0＝±2，此时点A的横坐标为＝1，故点A的坐标是(1，±2)．
4
答案：(1，±2)
8．设P是椭圆＋＝1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，－4)，则PQ的最大值为
2516
________．
y296422222
解析：设P的坐标(x，y)，则PQ＝x＋(y＋4)＝25(1－)＋(y＋4)＝－(y－)
16169
625
＋(－4≤y≤4)， 9
2
当y＝4时，PQ最大，
此时PQ最大，且PQ的最大值为
422
25×1－＋4＋4＝8.
16
答案：8 9．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．
916
4
解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)．又因为点(5,0)到渐近线y＝±x的距离为4，
3
22
所以圆的方程为x＋y－10x＋9＝0.
22
答案：x＋y－10x＋9＝0
10．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为________．
2
x2y2
x2y2
2
ppy20
x2y2
x2y2
??a－c＝3
解析：由题意知?c1
＝??a2
x2
y2
y2
x2
，解得?
?a＝23 ?c＝3
，
椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
129129答案：＋＝1或＋＝1 129129
→→→→11．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
→→→→
解析：设P(x，y)，M(－2,0)，N(2,0)，则MN＝(4,0)，|MN|＝4，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)；
2
x2y2y2x2
→→→→
由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0， 得4x＋22＋y2＋4(x－2)＝0，
2
化简整理得y＝－8x.
2
答案：y＝－8x
12．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q→→→→
与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0.
3→→→→
于是BP＝(x，y－b)，PA＝(a－x，－y)，由BP＝2PA可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0.
2
3→
又AB＝(－a，b)＝(－x,3y)，
232→→2
由OQ·AB＝1可得x＋3y＝1(x>0，y>0)．
2
322
答案：x＋3y＝1(x>0，y>0)
2
2
13．抛物线y＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的取值范围是____________．
解析：法一：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)
1
且AB所在直线的方程可设为：y＝－x＋b，
m代入y＝x，得y＋my－mb＝0， ∴y1＋y2＝－m，
2
且Δ＝m＋4mb＞0.①
设A、B的中点为(x0，y0)，则y0＝
＝－， 22
5
又A、B的中点在直线y＝m(x－3)上，所以x0＝，
2
1
又(x0，y0)在直线y＝－x＋b上．
22
y1＋y2mm1m5
∴b＝y0＋x0＝－＋，
m22m2
代入①并整理得：m＜10， ∴－10＜m＜10，
∴m的取值范围是(－10，10)．
法二：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B的中点为(x0，y0)，依题意，则有：
?＝x ②?yy－y1
＝－?x－xm ③
?y＋y＝2y ， ④?x＋x＝2x ⑤y＝mx－3 ⑥??y＜x ⑦
2
21
22
1110
222
000
20
0
y21＝x1 ①
①－②得：(y1＋y2)(y1－y2)＝x1－x2，
3