近世代数复习题

习题2.2-3证明：

1）在一个有限群里，阶大于2的元素的个数一定是偶数； 2）偶数阶群中阶等于2的元素的个数一定是奇数.

证明：1）设G是一个有限群，a是G的任意一个阶大于2的元素，则显然

a?a?1（否则将有a2?e）

但a与a?1有相同的阶，即a?1的阶也大于2. 又设b也是G中一个阶大于2的元素，且

1 b?a， ,b??a则易知b?1?a,b?1?a?1.

这就是说，G中阶大于2的元素是成对出现的.由于G是有限群，故G的阶大于2的元素的个数必为偶数.

2）设G是一个偶数阶有限群.由于单位元是阶为1的唯一元素，又由1）知G中阶大于2的元素的个数是偶数，故G中阶数等于2的元素的个数一定是奇数.

习题2.4.1设G?a为6阶循环群.给出G的一切生成元和G的所有子群. 解：生成元有两个：a,a5;子群有T(6)=4个，除e与G外另外两个为：

3? a2?{e,a2,a4},a3{e,a }.?1234??1234?习题2.5.1设M?{1,2,3,4},H?{?,?}，其中????,????.

11341133????问：H关于变换乘法是否作成有单位元的半群？是否作成群？习题2.6.4设??(327)(26)(14),??(134)(57).试求????1????1???? 2.7例1 取S3的子群H={(1),(12)}求S3关于H的左右陪集.

3.2例1证明：N?{(1),(123),(132)}是三元对称群S3的一个正规子群.但是S3的三个子群H1?{(1),(12)},H2?{(1)(13)},H3?{(1),(23)}都不是S3的正规子群. 习题3.2.1证明：指数是2的子群必是正规子群.

7.设S为群G的非空子集，称N(S)?{a|a?G,aS?Sa}为S在G中的正规化子，并称aSa?1为（子群）S的共轭（子群）子集.证明： 1）N(aSa?1)?aN(S)a?1; 2）N(S)?G;

3）若H?G，则H(N(H); 4)G中与S共轭的子集数=(G:N(S)). 提示：?:aSa?1?a?N(S).

?10?4.2例2 数域F上二阶全阵环中，??既是左零因子又是右零因子。

?20??10??00??2?1??10??00?因为有????????????.

?20??13??00??20??00?数环以及数域上的多项式环，都无零因子. 在无零因子的环中，关于乘法的消去律成立.

定义2 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环称为整环.