《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固(基础)
撰稿:康红梅 责编:李爱国
【学习目标】
1. 掌握整数幂的运算性质,并能运用它们熟练地进行运算;掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算; 2. 会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式),了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算;
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算;
4. 理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法:2.幂的乘方:3.积的乘方:4.同底数幂的除法:
(m,n为正整数);同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
(m,n为正整数);幂的乘方,底数不变,指数相乘. (n为正整数);积的乘方,等于各因数乘方的积.
(a≠0, m,n为正整数,并且m?n).
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
5.零指数幂:a?1?a?0?.即任何不等于零的数的零次方等于1.
0
6.负指数幂:a?n?1(a?0,n为正整数).任何不等于0的数的-n次幂,等于这个数na的n次幂的倒数.
要点诠释:公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式,还可以表示多项式;灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法 1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即
m(a?b?c)?ma?mb?mc(m,a,b,c都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即?a?b??m?n??am?an?bm?bn.
要点诠释:运算时,要注意积的符号,多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号,单项式乘以多项式各项的结果,要用“+”连结,最后写成省略加号的代数和的形式.根据多项式的乘法,能得出一个应用比较广泛的公式:?x?a??x?b??x??a?b?x?ab.
2要点三、乘法公式
1.平方差公式:(a?b)(a?b)?a?b
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
要点诠释:在这里,a,b既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
222222
222. 完全平方公式:?a?b??a?2ab?b;(a?b)?a?2ab?b
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.
要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍. 要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释:落实好方法的综合运用:
首先提取公因式,然后考虑用公式; 两项平方或立方,三项完全或十字; 四项以上想分组,分组分得要合适; 几种方法反复试,最后须是连乘式; 因式分解要彻底,一次一次又一次.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、计算下列各题:
(1)(3?10)?(?10) (2)[3(m?n)][?2(m?n)]
26243(3)(?2xy)?(?3xy) (4)(?2a)?(?3a)?[?(2a)]
6322323342332
【思路点拨】按顺序进行计算,先算积的乘方,再算幂的乘方,最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】
1819解:(1)(3?10)?(?10)?3?(10)?(10)?27?10?2.7?10.
233432334(2)[3(m?n)][?2(m?n)]?3?(m?n)?(?2)?(m?n)
23323626?27(m?n)6?4(m?n)6?108(m?n)12.
(3)(?2xy)?(?3xy)
26243?(?1)6?26?x6y12?(?1)3?33x6y12?64x6y12?27x6y12?37x6y12.
(?2a)?(?3a)?[?(2a)]?(?1)?2a?(?1)?3?(a)?(?1)?(2a) (4)
632236662232366?64a6?9a6?64a6??9a6.
【总结升华】在进行幂的运算时,应注意符号问题,尤其要注意系数为-1时“-”号、括号里的“-”号及其与括号外的“-”号的区别. 举一反三: 【变式】当a?【答案】
1231332,b=4时,求代数式a(?b)?(?ab)的值. 421177?1?解:a(?b)?(?ab2)3?a3b6?a3b6?a3b6?????46?56.
2888?4?3323类型二、整式的乘除法运算
2、解下列不等式.
(1)2x(x?1)?x(2x?5)?12 (2)3x(7?x)?18?(3x?15)x 【答案与解析】
解:(1)2x?2x?2x?5x?12,
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