[步步高]2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3cos 20°+sin 20°-sin 20°3cos 20°

==3.

sin 70°sin 70°ππππππ

(2)原式=tan[(-θ)+(+θ)][1-tan(-θ)·tan(+θ)]+3tan(-θ)tan(+θ)=3.

666666

例2 解题导引 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有确定,则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要学会拆角、拼角等技巧.

ππ3-α?=sin?+α?=, 解 cos??4??4?5π3π

∵0<β<<α<,

44ππ3π3π

∴<+α<π,<+β<π. 2444

ππ4+α?=-1-sin2?+α?=-, ∴cos??4??4?53π?3π12+β=-1-sin2?+β?=-. cos??4??4?13

?π+α?+?3π+β?? ∴sin[π+(α+β)]=sin???4??4??

π??3π?π3π

+αcos+β+cos?+α?sin?+β? =sin??4??4??4??4?1245356-?-×=-. =×?5?13?51365

56

∴sin(α+β)=.

65

π1+tan α+α?=2,得变式迁移2 解 (1)由tan?=2, ?4?1-tan α

1

即1+tan α=2-2tan α,∴tan α=. 3

sin?α+β?-2sin αcos β(2) 2sin αsin β+cos?α+β?

sin αcos β+cos αsin β-2sin αcos β= 2sin αsin β+cos αcos β-sin αsin β

-?sin αcos β-cos αsin β?-sin?α-β?==

cos αcos β+sin αsin βcos?α-β?

tan α-tan β

=-tan(α-β)=-

1+tan αtan β

11-321=-=. 1171+×32

例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵循以下原则:

①已知正切函数值,选正切函数;

π

0,?,选正、余弦皆可;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是??2?ππ

-,?,选正弦较好. 若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为??22?(2)解这类问题的一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围;

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③根据角的范围写出所求的角.

α1

解 (1)∵tan =,

22ααα2·?=2sin cos ∴sin α=sin??2?22ααα12sin cos 2tan 2×

22224

====. ααα?1?25sin2+cos21+tan21+222?2?π43

(2)∵0<α<,sin α=,∴cos α=. 255π

又0<α<<β<π,∴0<β-α<π.

2

272

由cos(β-α)=,得sin(β-α)=. 1010

∴sin β=sin[(β-α)+α]

=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α 723242522=×+×==. 105105502π3由<β<π得β=π. 24

23

(或求cos β=-,得β=π)

24变式迁移3 解 ∵A、B均为钝角且sin A=∴cos A=-1-sin2A=-

510

,sin B=, 510

225

=-,

553310

cos B=-1-sin2B=-=-.

1010

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B

25?310?5102=-×--×=.①

5102?10?5ππ

又∵

22∴π

由①②,知A+B=. 4

课后练习区

1.D 2.D 3.B 4.A 5.A

1226.- 7.- 8.3 -π

2113

π?5,π,cos β=-, 9.解 (1)∵β∈??2?13

12

∴sin β=.…………………………………………………………………………(2分)

13ππ

又∵0<α<,<β<π,

22

π3π33∴<α+β<,又sin(α+β)=, 2265∴cos(α+β)=-1-sin2?α+β?

33?256

=- 1-?=-,…………………………………………………………(4分) ?65?65

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∴sin α=sin[(α+β)-β]

=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β 33?5??56?123

---·=.…………………………………………………………(6分) =·

65?13??65?135(2)∵tan α=tan[(α-β)+β]

11-27tan?α-β?+tan β1

===,……………………………………………………(8分)

1131-tan?α-β?tan β

1+×27

∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]

11+32tan α+tan?α-β?

===1.……………………………………………………(10分)

111-tan αtan?α-β?

1-×3211

∵α,β∈(0,π),tan α=<1,tan β=-<0,

37

ππ

∴0<α<,<β<π,

42

∴-π<2α-β<0,∴2α-β=-.……………………………………………………(12分)

4

10.(1)

①证明 如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于点P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于点P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于点P4.

则P1(1,0),P2(cos α,sin α),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)), …………………………………………………………………………………………(2分) 由|P1P3|=|P2P4|及两点间的距离公式, 得[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)

=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2, 展开并整理得:

2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β),

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.……………………………………………………(4分)

π?

②解 由①易得,cos??2-α?=sin α,

π?sin??2-α?=cos α.

π?sin(α+β)=cos??2-?α+β??

?π-α?+?-β?? =cos???2??ππ

-α?cos(-β)-sin?-α?sin(-β) =cos??2??2?=sin αcos β+cos αsin β.

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.……………………………………………………(7分) (2)解 由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c.

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11则S=bcsin A=,

22→→AB·AC=bccos A=3>0,

π

0,?,cos A=3sin A,……………………………………………………………(9∴A∈??2?分)

又sin2A+cos2A=1,

10310

∴sin A=,cos A=,

101034

由cos B=,得sin B=.

55

10

. 10

……………………………………………………………………………………………(11∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=分)

10. 10

……………………………………………………………………………………………(12故cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-分)

11.解 (1)依题设得f(x)=2cos2x+3sin 2x

π

2x+?+1. =1+cos 2x+3sin 2x=2sin?6??

π

2x+?+1=1-3, 由2sin?6??π3

2x+?=-.……………………………………………………………………(3分) 得sin?6??2ππππ5π∵-≤x≤,∴-≤2x+≤.

33266πππ∴2x+=-,即x=-.………………………………………………………………(6分)

634πππ

(2)-+2kπ≤2x+≤+2kπ (k∈Z),

262ππ

即-+kπ≤x≤+kπ (k∈Z),

36

ππ

-+kπ,+kπ? (k∈Z).得函数单调增区间为?……………………………………(10分) 6?3?

列表:

πππ2π5πx 0 π 63236y 2 3 2 0 0 2 -1 描点连线,得函数图象如图所示:

…………………………………………………………………………………………(14分)

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