第4章 数列 【学习目标】 1. 了解数列的概念，掌握数列的通项公式． 2. 了解等差数列、等比数列的定义；理解等差中项和等比中项的意义；掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，能够应用公式进行有关的计算． 3. 培养学生对知识的综合运用能力以及类比能力和计算能力． 4.1 数列 1. 数列的概念 观察下面每一组数： ⑴ 4，5，6，7，8 ⑵ 2，22，23，24，25，…，2n，… 11111⑶ 1，，，，，…，，… 35792n?1⑷ 7，7，7，7，7，…，7，… ⑸ 1，0，-1，0，1，0，-1，0，… 像上面例子中，按照一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项；根据各项所在位置的序号，分别叫做第1项，第2项，第3项，…，第n项，…，并分别记做a1，a2，a3，…，an，…，把第n项an叫做数列的通项；数列a1，a2，a3，…，an，…；简记做数列{an}，如前面的数列⑵，记做数列{2n}；数列⑶，记做数列{1}. 2n?1 2数列的通项公式. 如果数列{an}的通项an与项数n之间的关系，可以用一个解析式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.已知一个数列的通项公式，就可以求出这个数列的任何一项.1例如数列⑶的通项公式是an?，第50项2n?111 a50??． 2?50?199例1. 已知下面各数列{an}的通项公式，写出它的前3项和第30项. 思考：如何求前3项和第30项？ 1?12?11?0 a2?? 解：⑴ a1? 1?(1?1)2?(2?1)6 3?1130?129? a30?? a3? 3?(3?1)630?(30?1)930 ⑵ a1?(?1)1?(12?1)?0 a2?(?1)2?(22?1)?3 a3?(?1)3?(32?1)??8 a30?(?1)30?(302?1)?899 例2.写出以下各数列的通项公式： 111 ⑴ 1，，，，… 2341234 ⑵ ，，，，… 3579157 ⑶ ，1，，，… 245解：⑴ 数列各项的分母是1，2，3，4，…，即n，分子 都是1，所以该数列的通项公式为： 1 an?； n⑵数列各项的分母是3，5，7，9，…，即2n?1，分子是 1，2，3，4，…，即n，所以该数列的通项公式为 n an?； 2n?1157 ⑶ 原数列：，1，，，… 2451357 可改为：，，，，… 2345数列各项的分母是2，3，4，5，…，即n?1，分子的特点是1， 3，5，7，…，即2n?1，所以该数列的通项公式为 n?1 an?； 2n?1 【习题4.1】 1. 根据数列的定义，判断下面各题中的两个数列是否相 n?1⑴ an? ⑵ an?(?1)n?(n2?1) n(n?1) 同： ⑴ 0，1，2，3，…和1，2，3，…； ⑵ 1，2，3，4，5和1，2，3，4，5，…； 11111111⑶ 1，，，，和，，，，1 234554322. 写出下列数列的通项公式： ⑴ 3，4，5，6，7，…； ⑵ 10，11，12，13，14，…； ⑶ -1，-2，-3，-4，-5，…； ⑷ 0，1，2，3，4，…； 1111⑸ 1，，，，，…； 23451111⑹ －1，，?，，?，…； 23451111⑺ 1，?，，?，，…； 23453. 观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出它的通项公式： ⑴ 1，3，（ ），7，9，（ ），13，…； ⑵（ ），1，4，9，16，（ ），36，…； ⑶ 1，32，（ ），34，35，36，37，（ ），…； ⑷ 4，（ ），2，1，0，-1，（ ），-3，…； ⑸0，1，0，（ ），0，1，0，1，（ ），……； 4. 已知下列数列的通项公式，写出它的前5项： ⑴ an?n2?1 ⑵ an?10n ⑶ an?5?(?1)n?1 ⑷ an?1?(?1)n n⑸ an?； ⑹ an?2?(?1)n． 2n?1 5．写出以下各数列的通项公式，并写出第10项： （1）3，6，9，12，…； （2）0，?2，4，?6，…； 2345 （3），，，，…； 1234 345 （4）2，，，，…； 4916 1357 （5），?，，?，…； 2468 （6）9，99，999，9999，…． 6．以下4个数中（ ）不是数列{n(n?2)}的项： 80105120 （A） （B） （C） （D）255 3n?27. 已知某数列通项公式an?，是它的第几项？ n(n?1)10 第5项是多少？