第36讲 合情推理与演绎推理
课时达标
一、选择题
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
B 解析 对于A项，小前提与结论颠倒，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项，大小前提颠倒；对于D项，大小前提以及结论颠倒．故选B.
2．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( )
A．8 C．10
B．9 D．11
A 解析 观察题中所给各数可知2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，8＝3＋5,13＝5＋8，所以括号中的数为8.故选A.
3．观察(x)′＝2x，(x)′＝4x(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) C．g(x)
B．－f(x) D．－g(x)
2
4
3,
D 解析 由所给等式知偶函数的导数是奇函数．因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．所以g(－x)＝－g(x)．
4．中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是则8 335用算筹可表示为( )
，
1
B 解析 各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则8 335用算筹可表示为
.故选B.
5．(2019·太原模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等，据此可判断丙必定值班的日期是( )
A．2日和5日 C．6日和11日
B．5日和6日 D．2日和11日
12
C 解析 这12天的日期之和S12＝(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.
2对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日、3日、10日、12日有值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日、7日，也可能是4日、5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．
6．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N)，观察下列运算：
*
a1·a2＝log23·log34＝
lg 3lg 4
·＝2； lg 2lg 3
lg 3lg 4lg 8
··…·＝3；… lg 2lg 3lg 7
a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝
*
若a1·a2·a3·…·ak(k∈N)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 019时，“企盼数”k为( )
A．2C．2
2 019
＋2 －2
B．2D．2
2 019
－4
2 019
2 0192 019
lg
C 解析 a1·a2·a3·…·ak＝2.
二、填空题
k＋2
lg 2
＝2 019，lg(k＋2)＝lg 2，故k＝2
2 019
－
131151117
7．观察下列式子：1＋2<，1＋2＋2<，1＋2＋2＋2<，…，根据上述规律，第n222332344个不等式应该为________________．
2
11
解析 不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋2＋…＋
2n＋12n＋1111
的右边为，所以第n个不等式应该为1＋2＋2＋…＋
n＋123n＋1
111答案 1＋2＋2＋…＋
23n＋1
2
2
2
，不等式
2n＋1
＜. n＋1
2n＋1＜ n＋1
8．(2019·鄂南高中月考)一同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆，表示实心圆)．
若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，则前2 020个圆中有实心圆的个数为________．
解析 将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，……，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2 020个圆中有多少个实心圆，因此2＋63找到第2 020个圆所在的段数很重要．因为2＋3＋…＋63＝×62＝2 015<2 020，而2
22＋64
＋3＋…＋64＝×63＝2 079>2 020，所以共有62个实心圆．
2
答案 62
9．设等差数列{an}的前n项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则______________成等比数列．
解析 利用类比推理把等差数列中的差换成商即可． 答案 T4，，三、解答题 10．设f(x)＝
T8T12T16
， T4T8T12
ax＋a－x2
，g(x)＝
ax－a－x2
(其中a＞0，且a≠1)．
(1)请你由5＝2＋3推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解析 (1)由于f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝
a3＋a－3a2－a－2a3－a－3a2＋a－2a5－a－5
2
·
2
＋
2
·
2
＝
2
，又
g(5)＝
a5－a－5
2
，
因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)． 证明：因为f(x)＝
ax＋a－x2
，g(x)＝
ax－a－x2
，所以g(x＋y)＝
ax＋y－a－
2
x＋y，g(y)＝
ay－a－y2
，
3