数学模型姜启源第四版答案

【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】

t>第二章(1)（2008年9月16日）

1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们

要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；

（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， 3

p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000. i?1

方法一（按比例分配） q1? p1n 3

?2.35,q2? p2n 3

?3.33, q3? p3n 3

?4.32 ? i?1 pi ? i?1 pi

? i?1 pi

分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4

第10个席位：计算q值为 q1? 235 2 2?3

?9204.17, q2? 333 2 3?4

?9240.75, q3? 432 2 4?5

?9331.2

q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法）

此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pini pini pini 是

每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. 中选较大者，可使对所有的i,尽量接

再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dn t

n n 2 2

) ?t? 2?rkv n? ?wkv 2 n. 2

第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车

获得的功率p与v、s、?的关系.

解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为: [p]=ml2t?3, [v]=lt 量纲矩阵为： ?2?1????3(p) 10?1(v) 200(s) ?3?(l) ?

1(m)? ?0?(t)(? ?1

,[s]=l2,[?]=ml?3,这里l,m,t是基本量纲. a=

齐次线性方程组为： ?2y1?y2?2y3?3y4?0? ?0 ?y1?y4

??3y?y?012?

它的基本解为y?(?1,3,1,1)

由量纲pi定理得 ??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ，其中?是无量纲常数. 16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.