生活的色彩就是学习
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破一 高考中
的导数应用问题教师用书
1．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[2，＋∞) 答案 D
11
解析 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0B．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
xx在(1，＋∞)上恒成立．
11
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
xx即k的取值范围为[1，＋∞)．
2．(2016·浙江十校联考)已知函数f(x)＝x－ax＋4，若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为( ) A．(1，＋∞) C．(2，＋∞) 答案 D
解析 由题意知f′(x)＝3x－2ax＝x(3x－2a)， 当a≤0时，不符合题意．
2a当a>0时，f(x)在(0，)上单调递减，
32a在(，＋∞)上单调递增，
32a所以由题意知f()<0，解得a>3，
3故选D.
3．(2016·全国甲卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________. 答案 1－ln 2
1
解析 y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．
2
3
2
3
B．(，＋∞)
2D．(3，＋∞)
x1
K12的学习需要努力专业专心坚持
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1x2
y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)，
x2＋1x2＋1
??x∴???ln x＋1＝
＝
1
1
1
1
，x2＋1
x2＋－
，x2＋1
x2
11
解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
22
ex＋1exgx1fx2
4．设函数f(x)＝，g(x)＝x，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤xekk＋1恒成立，则正数k的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)
解析 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)， 不等式
22
2
gx1fx2kgx1
≤恒成立，所以≥kk＋1k＋1fx2
2
maxmin
.
ex因为g(x)＝x，
e所以g′(x)＝e
2－x(1－x)．
当0
所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e. 12
又f(x)＝ex＋≥2e(x>0)．
x112
当且仅当ex＝，即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.
xe所以
gx1
fx2
maxmin
＝
e1k1＝，应有≥， 2e2k＋12
又k>0，所以k≥1.
题型一 利用导数研究函数性质
例1 (2015·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
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1
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
x若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
?1??1??1?若a＞0，则当x∈?0，?时，f′(x)＞0；当x∈?，＋∞?时，f′(x)＜0.所以f(x)在?0，?
?
a?
?a??a?
?1?上单调递增，在?，＋∞?上单调递减．
?a?
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；
11?1??1?当a＞0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f??＝ln＋a?1－?＝－ln a＋a－1.
a?a?
a?a?
?1?因此f??＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
?a?
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
g(1)＝0.
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0. 因此，a的取值范围是(0,1)．
思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．
已知a∈R，函数f(x)＝(－x＋ax)e (x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围． 解 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x＋2x)e， 所以f′(x)＝(－2x＋2)e＋(－x＋2x)e ＝(－x＋2)e.
令f′(x)>0，即(－x＋2)e>0，因为e>0， 所以－x＋2>0，解得－2 所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)． (2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增， 所以f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立． 因为f′(x)＝(－2x＋a)e＋(－x＋ax)e ＝[－x＋(a－2)x＋a]e， K12的学习需要努力专业专心坚持 22 2 2 2 2 xxx2xxxxx2xx