数与式
教学准备
一 教学目标：
（1）了解：能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征（或意义）；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。
（2）理解：能描述对象特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。 （3）掌握：能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。
（4）灵活运用：能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。 二 知识要点
1.实数的有关概念 （1）实数分类
???正整数???整数?零???负整数?有理数????实数?------（有限小数和无限循环小数） ?正分数???分数????负分数????无理数－无限不循环小数实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。解题中需考虑数
的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自然数。
（2）数轴
数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（3）绝对值 ?a(a?0)绝对值的代数意义： |a|???0(a?0) ??a(a?0)?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 （4）相反数、倒数
相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。
（5）三种非负数
|a|、a2、a（a?0）形式的数都表示非负数。“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数
的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。
（6）平方根、算术平方根、立方根的概念 2.实数的运算
（1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。 （2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。 （3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。
（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a?10（其中1?|a|?10，n为整数）。 （5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：①数轴图示法。②作差法。③平方法等。
n例题精讲
2（x?4）?y?1?0，求x+2y的值。 例1.已知x、y是实数，且满足
22因为(x?4)?0，y?1?0又(x?4)?y?1?0 解：
所以(x?4)2?0，y?1?0 所以x?4，y?1 所以x?2y?4?2?1?6
说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出x、y的值，从而问题可解。
例2.2005年10月12日9时15分许，我国“神舟”六号载人飞船发射成功，飞船在太空共绕地球77圈，飞行路程约为330万千米，用科学记数法表示，结果保留三位有效数字，则“神舟”六号飞船绕地球平均每圈约飞行（）
44554.28?10千米4.29?10千米4.29?10千米 4.28?1?千米A.B.C.D.
简析：330万千米＝3300000千米，3300000÷77≈42857保留三位有效数字用科学记数法表示为
4.29?104。
解：选B。 说明：运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题，是新课标的主要内容之一。本题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。
221221例3.计算： 2
解：
（）?（?1）?（?）??（?15.）32322121（）2?（?1）?（?）2??（?15.2）3232???43419?（?）???92924431?（??1?）9224?（?2）989
??说明：进行计算时，首先要注意观察题目中有哪几种运算，思考有无简便方法，然后确定运算顺序。注意遇到同一级运算时，应按自左向右的顺序进行计算，并要随时检查运算结果的符号。
例4.比较下列实数大小：
（1）?199与?；（2）35与422814
解：（1）解1（作差法）：
因为19919?9?21199????0所以?281428282814 199因此???2814
解2（作商法）：
19191419因为28????1919928918所以?281414
（2）解1（平方法）：
因此?199??2814因为（35）2?45，（43）2?48
又45?48，35?0，43?0所以35?43
解2（比较被开方数法）：
因为35?32?5?45，43?42?3?48又48?45所以48?45
因此43?35
说明：比较两个分数的大小，还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。
1，?例5.请你将第1行1
11111，，?，，?23456按一定规律排列如下：
11第2行23
?111?6 第3行45?1111??8910 第4行711111??12131415 第5行11111111??18192021 第6行1617?……
则第20行第十个数是多少？
解：观察①每行的数的个数与行数相同；②每个数的分母都是自然数呈递增趋势；③分母为偶数的数为负数；④每行最后一个数的分母是每行个数之和。
所以第19行最后一个数的分母为
1?2?3?……?19?（1?19）?19?1902
11?第20行第一个数就为191，第20行第十个数就为200
例6.实数a、b、c在数轴上
B C A 化简：
0 1 对应的点分别是A、B、C，其位置如图所示。
试
|c|?|c?b|?|a?c|?|b?a|。
解：由图可知：a?0，b?0，c?0，b?c，|b|?|a|，|c|?|a|
所以|c|??c，|c?b|??c?b |a?c|?a?c，|b?a|??b?a 所以|c|?|c?b|?|a?c|?|b?a|??c?c?b?a?c?b?a??c
说明：这类绝对值化简问题，关键是脱去绝对值的符号，转化为一般的实数运算，而脱去绝对值的符号，
又得先判定绝对值符号中各个数的正负性，本题无论是数形结合还是绝对值问题的化简都很有代表性。
例7.现定义两种运算“?”“?”对任意两个整数a,b，有a?b?a?b?1，a?b?ab?1 求4?[（6?8）?（3?5）]的值。 解：由a?b?a?b?1知6?8?6?8?1?13
由a?b?ab?1知3?5?3?5?1?14
?4?[（6?8）?（3?5）]?4?（13?14）?4?（13?14?1）?4?26?4?26?1?103
课后练习
（一）、精心选一选
1.在1，?1，?2这三个数中，任意两数之和的最大值为（ ） A.1 B.0 C. ?1 D.?3 2.一个有理数的平方与它的立方相等，这样的有理数是（）
A.0，1 B.?1，0 C.1，?1 D.?1，1，0
3.有一种记分方法：以80分为基准，85分记为+5分，某同学得77分，则应记为（ ）
A.+3分 B.?3分 C.+7分 D.?7分
c -b 0 a 4.已知：如图所示，a、b、c的大小关系为（ ）
A.a?b?c B.a?c?b C.c?a?b D.c?b?a
5.计算：?2?3?(?2?3)的结果为（ ） A.0 B.?54 C.?72 D.?18 6.如果式子5?x是二次根式，则x应满足的条件是（ ） A.x?5 B.x?5 C.x?5 D.x?5
2293±5”下列表达式中正确的一项是（ ） 7.对于叙述“25的平方根是
93939393?±±?±±??5 B.255 C.255 D.255 A.258.如果a是有理数，则|a|?a的值必是（ ）
A.负数 B.非负数 C.正数 D.非正数
（二）、细心填一填
9.在数轴上，与表示?3的点的距离为4的点所表示的数为_____________。 10.36的平方根是________81的算术平方根是________ 11.若?3?2x有平方根，则x________
12.计算：(26)?___________，(?37)?___________，(3?2)?_________。 13.化简的二次根式12a3b2c＝_________
2|a?3|?2(a?b?4)?0，则a?b的值=_____________。 14.若
22215.某商品标价为800元，现按九折销售，仍可获利20%，则这种商品的进价为_____元。
（三）、用心做一做 16.计算：
1?2?1?313??1?1??????24(?3)3?2?????22?????864??3? 4?3?（1）24 （2）
2123141÷2×1?3a·12a33543（3） （4）