由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301. E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.413D(X)?E(X)?[E(X)]?0.413?(0.301)?0.322.222 x?1?4?13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）=?4e,x?0, ?x?0.?0,为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元 P{Y?100}?P{X?1}?故E(Y)?100?e?1/4???11?x/4edx?e?1/4 P{Y??200}?P{X?1}?1?e?1/4. 4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33.64 (元). 21n1n22(Xi?X)2. 14.设X1，X2，?，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，i=1，2，?，n，记 X??Xi,S，S=?ni?1n?1i?1n212(?Xi?nX)； （3） 验证E（S2）=σ2. （1） 验证E(X)=μ，D(X) =； （2） 验证S=nn?1i?12?2n1n1?1n?1nu?u. 【证】(1) E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)??ni?1n?ni?1?ni?1n1n1?2?1n?12D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2??DXi?2?n??. nnnnni?1i?1?i?1?n21(?Xi2?nX). nX??X?nX 故S?(2) 因 ?(Xi?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi??X?nX?2X?n?1i?1i?1i?1i?1i?1i?1i?1n2n2i2n2i2nn2i2n2i22(3) 因E(Xi)?u,D(Xi)??,故E(X)?D(Xi)?(EXi)???u. 同理因E(X)?u,D(X)? 22i222?2n,故E(X)?2?2n?u2. 51 nn2?21?12(?Xi?nX)??[E(?Xi2)?nE(X)] 从而 E(s)?E?i?1?n?1i?1?n?12 21n?[?E(Xi2)?nE(X)]n?1i?1??2??1?22???n?(??u)?n??u2????2.n?1??n?? 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）. 【解】Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D(Y)?3?2?10?(?1)?8?3??28 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). ?122?,x?y?1,16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=?π 试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. ?其他.?0,【解】设D?{(x,y)|x?y?1}. E(X)?22??????????112π1xf(x,y)dxdy???2xdxdy=π?0?0rcos??rdrd??0. πx2?y?1112π12xydxdy?rsin?cos?rdrd??0, ????00πx2?y2?1π1?y211222dy?1?x. 当|y|≤1时，fY(y)?dx?1?y2. 21?1?yππππ同理E(Y)=0. 而 Cov(X,Y)???????????[x?E(x)]?[y?E(Y)]f(x,y)dxdy?由此得?XY?0,故X与Y不相关. 下面讨论独立性，当|x|≤1时，fX(x)显然fX(x)?fY(y)?f(x,y). 故X和Y不是相互独立的. ?1?x21?1?x218.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD= 1，故（X，Y）的概率密度为 252 题18图 11?x11?x?2,(x,y)?D,11f(x,y)?? E(X)???xf(x,y)dxdy??dx?x?2dy? E(X2)???x2f(x,y)dxdy??dx?2x2dy? 000036?0,其他.DD11?x1?1?1111. 同理E(Y)?,D(Y)?. 而 E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?2xydy?. 从而D(X)?E(X)?[E(X)]?????006?3?1812318DD222所以 Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?1111????. 从而 ?XY?123336Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)1?? 211?1818?136ππ?1?sin(x?y),0?x?,0?y?,19.设（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=?222 求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY. ?其他.?0,【解】E(X)???????????xf(x,y)dxdy??2π/20dx?π/20ππ1π2π1π2222??2. x?sin(x?y)dy?. E(X)??dx?x?sin(x?y)dy?0028224π/2π/2π2πππ2ππ??2. 同理 E(Y)?,D(Y)???2. 又 E(XY)??dx?xysin(x?y)dxdy??1, 从而 D(X)?E(X)?[E(X)]?00162416222 53 ?π?ππ?π?4?故 Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)???1???????. ?XY?2444????2?π?4????Cov(X,Y)(π?4)2π2?8π?164???2??2??2. πππ?8π?32π?8π?32D(X)?D(Y)??2162220.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为?【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而 ?11?，试求Z1=X2Y和Z2=2XY的相关系数. ??14?D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4, Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y) ?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y)?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5.故 ?Z1Z2? Cov(Z1,Z2)D(Z1)?D(Z2)?255?13. 2613?4222221.对于两个随机变量V，W，若E（V），E（W）存在，证明：［E（VW）］≤E（V）E（W）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy22222222Schwarz）不等式. 【证】令g(t)?E{[V?tW]},t?R. 显然 0?g(t)?E[(V?tW)]?E[V?2tVW?tW]?E[V]?2t?E[VW]?t?E[W],?t?R. 可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]?4E(W)?E(V)?4{[E(VW)]?E(V)?E(W)}. 故222222[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}. 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）. 【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)= 1=5. ?eλx依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1. 对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 {X≤x}=1,54 所以 F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1e. 23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. k3?kC3?C3【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为 P{Z?k}?, k?0,1,2,3. C36y/5Z=k Pk 因此，E(Z)?0?0 1 2 3 1 209 209 201 2019913?1??2??3??. 202020202(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k}?k?0319192131?0???????. 20206206206424.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销若X?10,??1,?售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系T=?20,若10?X?12,问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的??5,若X?12.?平均利润最大？ 【解】E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12} ??P{X?u?10?u}?20P{10?u?X?u?12?u}?5P{X?u?12?u} ???(10?u)?20[?(12?u)??(10?u)]?5[1??(12?u)] ?25?(12?u)?21?(10?u)?5.故 dE(T)1?x2/2 令 ?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1)0(这里?(x)?e), du2??(12?u)2/2得 25e ?21e?(10?u)2/2 两边取对数有 ln25?11(12?u)2?ln21?(10?u)2. 2255