《概率论与数理统计》(谢永钦)课后习题答案

【解】设Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3,4). P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 i?1431.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击. 1?(0.8)?0.9 即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.证明:若P(A|B)=P(A|B),则A,B相互独立. 【证】 P(A|B)?P(A|B)即nnP(AB)P(AB)? 亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B) P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B) P(B)P(B)因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为3111,,,求将此密码破译出的概率. 534【解】 设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则 P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?i?1423???0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3 由全概率公式,得 P(A)??P(A|B)P(B)=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×iii?030.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.458 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率. (2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 【解】(1) p1? ?Ck?03k10(0.35)(0.65)k10?kk?0.5138 (2) p2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241 k?4106 36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率: (1) A=“某指定的一层有两位乘客离开”; (2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”; (3) C=“恰有两位乘客在同一层离开”; (4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 24C6921294【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为10种. (1) P(A)?,也可由6重贝努里模型: P(A)?C)() 6(610101066P101(2) 6个人在十层中任意六层离开,故P(B)?6 (3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有C10种可能结果,再从六人中10选二人在该层离开,有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有C9C4C8种可能结果;②4人同时离开,有C9种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有P9种可能结果,故 2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10 1311426P10(4) D=B.故 P(D)?1?P(B)?1?6 1037. n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率; (3) 如果n个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 【解】 (1) p1?3!(n?3)!1(n?1)!1?3!(n?2)! (2) p2?,n?3 (3) p1???;p2?,n?3 (n?1)!n?1n!nn!38.将线段[0,a]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率 ?x?y?a?x?y?【解】 设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由 0乙正)显然有 =(甲正≤乙正)=(n+1甲反≤n乙反) =(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反) 由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反) 因此P(甲正>乙正)=1 246.证明“确定的原则”(Surething):若P(A|C)≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C),则P(A)≥P(B). 【证】由P(A|C)≥P(B|C),得 P(AC)P(BC)?, 即有 P(AC)?P(BC) P(C)P(C)同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC), 故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢,有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 9 (n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)k【解】 设Ai={第i节车厢是空的},(i=1,?,n),则 n?P(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?n?1k)n 11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?1S2?其中i1,i2,?,in1是1,2,?,n中的任n1个. 显然n节车厢全空的概率是零,于是 n2k2P(AA)?C(1?)?ijnn1?i?j?n 1?i1?i2??in?1?n?Sn?1?Sn?0P(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sni?1n?n?1P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1k)n ?Cn(1?)?Cn(1?)???(?1)Cn(1?故所求概率为 1?P(?Ai)?1?Cn(1?)?Cn(1?)???(?1)i?1n111nk22nknn?1n?1k) nn?1?1Cnn(1?1nk22nin?1k) n48.设随机试验中,某一事件A出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早会出现的概率为1. 【证】 在前n次试验中,A至少出现一次的概率为 1?(1??)?1(n??) 49.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 10 n

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