大学物理习题册答案

练习 十三 知识点:理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能 一、选择题

1. 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体,温度为T,分子质量为m,则分子速度在x方向的分量平均值为 (根据理想气体分子模型和统计假设讨论) ( )

(A)?x?18kT; (B)?x?3πm8kT3kT; (C)?x?; (D)?x?0。

2m3πm解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方

向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.

2. 若理想气体的体积为V,压强为p,温度为T,一个分子的质量为m,k为玻耳兹曼常量,R为摩尔气体常量,则该理想气体的分子数为 ( )

(A)pV/m; (B)pV/(kT); (C)pV/(RT); (D)pV/(mT)。 解: (B)理想气体状态方程pV?MRT?NmRT?NRT?NkT

MmolNAmNA3.根据气体动理论,单原子理想气体的温度正比于 ( )

(A)气体的体积; (B)气体的压强;

(C)气体分子的平均动量;(D)气体分子的平均平动动能。

13解: (D)?k?mv2?kT (分子的质量为m)

224.有两个容器,一个盛氢气,另一个盛氧气,如果两种气体分子的方均根速率相等,那么由此可以得出下列结论,正确的是 ( )

(A)氧气的温度比氢气的高; (B)氢气的温度比氧气的高; (C)两种气体的温度相同; (D)两种气体的压强相同。 解:(A) ?k?mO2TO2123,(分子的质量为m) ?mv?kT22mH2TH25.如果在一固定容器内,理想气体分子速率都提高为原来的2倍,那么 ( )

(A)温度和压强都升高为原来的2倍;

(B)温度升高为原来的2倍,压强升高为原来的4倍; (C)温度升高为原来的4倍,压强升高为原来的2倍; (D)温度与压强都升高为原来的4倍。 解:(D)根据公式p?1nmv2,p?nkT即可判断. (分子的质量为m) 36.一定量某理想气体按pV2=恒量的规律膨胀,则膨胀后理想气体的温度 ( ) (A)将升高; (B)将降低; (C)不变; (D)升高还是降低,不能确定。 解:(B) pV2=恒量, pV/T=恒量,两式相除得VT=恒量 二、填空题 1.质量为M,摩尔质量为Mmol,分子数密度为n的理想气体,处于平衡态时,状态方程为_______________,状态方程的另一形式为_____________,其中k称为____________常数。 解: pV?MRT; p?nkT;玻耳兹曼常数

Mmol2.两种不同种类的理想气体,其分子的平均平动动能相等,但分子数密度不同,则它们的温度 ,压强 。如果它们的温度、压强相同,但体积不同,则它们的分子数密度 ,单位体积的气体质量 ,单位体积的分子平动动能 。(填“相同”或“不同”)。 解: 平均平动动能?k?123mv?kT,p?nkT?相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m) 223.理想气体的微观模型:

(1)___________________________________;(2)____________________________________; (3)____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。

解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。

4.氢分子的质量为3.3?10?24g,如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角方向以105cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上(碰撞是完全弹性的),则由这些氢气分子产生的压强为_________________。

1

2Nmvcos?2?1023s?1?3.3?10?27kg?103ms?1?0.70732解: (分子的质量为m) ??2.33?10N/mS2?10?4m25.宏观量温度T与气体分子的平均平动动能?k的关系为?k=___,因此,气体的温度是_______的量度。 解:?k?3kT, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 26?.储有氢气的容器以某速度v作定向运动,假设该容器突然停止,气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能,此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s,容器中气体分子的平均动能增加了__________J。 解:

1MiiR?T5?8.31?0.7Mv2?R?T,v???120.6m/s ?32Mmol2Mmol2?10分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加

i5k?T??1.38?10?23?0.7?2.42?10?23J 22三、计算题

1.有一水银气压计,当水银柱高度为0.76m时,管顶离水银柱液面为0.12m。管的截面积为2.0?10?4m2。当有少量氦气混入水银管内顶部,水银柱高度下降为0.60m。此时温度为27℃,试计算有多少质量氦气在管顶?(氦气的摩尔质量为0.004kg/mol,0.76m水银柱压强为1.013?105Pa)

解:设管顶部氦气压强为p,p?0.16mHg?0.16?1.013?105?2.13?104pa

0.76 V?0.28?2.0?10?4?5.6?10?5m3 由理想气体状态方程pV?MRT可得, MmolpVMmol2.13?104?5.6?10?5?0.004??1.91?10?6(kg) M?RT8.31?(27?273)2.一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为?k= 6.21×10?21 J。求:

(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率;

(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量NA=6.022×1023 mol?1,玻尔兹曼常量k=1.38×10?23 J·K?1) 解:(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同

2?k?kT?mv2?6.21?10?21J,(分子的质量为m)

32122?k2?kNA2?6.21?10?21?6.022?1023v????484m/s

mMmol32.0?10?32?k2?6.21?10?21(2) 氧气的温度 T???300K ?233k3?1.38?103.(1)有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体,如果压缩气体并对它加热,使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半,求气体压强变为原来的几倍?(2)这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍?分子的方均根速率变为原来的几倍?

解:(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知

MVMp?2T?2(273?177)RT,p??RT?,???3,p??3p Mmol2MmolpT3003?k?T?273?1733????kT???1.5 (2) 根据分子平均平动动能公式可知 ?k?kT,k,

?kT273?2722pV?根据方均根速率公式v2?3RT3RT?,v?2?,v?2/v2?T?/T?3/2?1.225 MmolMmol4. 水蒸气分解为同温度T的氢气和氧气H2O →H2+

11O2时,1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和摩22尔氧气。当不计振动自由度时,求此过程中内能的增量。 解:水蒸汽的自由度i?6,EH2O?Mi?RT?3RT Mmol22

氢气和氧气的自由度均为5,EH2?EO2? 内能的增量?E?51515RT??RT?RT 2224153RT?3RT?RT 445.有 2×10?3 m3刚性双原子分子理想气体,其内能为6.75×102 J。(1) 试求气体的压强;(2) 设分子总数

为 5.4×1022个,求分子的平均平动动能及气体的温度。 解:(1)因为PV?MM55RT,内能E?RT?N?kT。 MmolMmol222E2?6.75?102??1.35?105N/m2 所以 p??35V5?2?10332E3E3?6.75?102?21???7.5?10J (2)分子的平均平动动能?k?kT??22225N5N5?5.4?1033?k?kT??1.38?10?23?T?7.5?10?21J,T?362K

226.一容器被中间的隔板分成相等的两半,一半装有氦气,温度为250K;另一半装有氧气,温度为310K,

二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解:设氦气、氧气的摩尔数分别为?1、?2,根据理想气体状态方程可知

V?TVp??2RT2,2?1 p??1RT1,2?1T22 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒 ??E2?,?1 E1?E2?E13535RT1??2RT2??1RT??2RT, 22228T1T23?T?5?2T23T1?5(?2/?1)T23T1?5(T1/T2)T2??284.4k T?11??3T2?5T13?1?5?23?5(?2/?1)3?5(T1/T2)练习 十四 知识点:麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程 一、选择题

1. 在一定速率?附近麦克斯韦速率分布函数 f(?)的物理意义是:一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 ( )

(A)速率为?的分子数; (B)分子数随速率?的变化;

(C)速率为?的分子数占总分子数的百分比;

(D)速率在?附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

解:(D) f(v)?dN,速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

Ndv2. 如果氢气和氦气的温度相同,摩尔数也相同,则 ( )

(A)这两种气体的平均动能相同; (B)这两种气体的平均平动动能相同; (C)这两种气体的内能相等; (D)这两种气体的势能相等。

解:(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,i?3;氢气为双原子(刚性)分子, i?5 3. 在恒定不变的压强下,理想气体分子的平均碰撞次数z与温度T的关系为 ( ) (A)与T无关; (B)与T成正比; (C)与T成反比; (D)与T成正比; (E)与T成反比。

8R 解:(C)z?2vn?d2?28RTp?d2?2?d2p?MmolkT?MmolT4. 根据经典的能量按自由度均分原理,每个自由度的平均能量为 ( )

(A)kT/4; (B)kT/3; (C)kT/2; (D)3kT/2; (E)kT。 解:(C)

5. 在20℃时,单原子理想气体的内能为 ( )

(A)部分势能和部分动能; (B)全部势能; (C)全部转动动能; (D)全部平动动能; (E)全部振动动能。

解:(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0

6. 1mol双原子刚性分子理想气体,在1atm下从0℃上升到100℃时,内能的增量为 ( )

3

(A)23J; (B)46J; (C)2077.5J; (D)1246.5J; (E)12500J。 解:(C)?E?二、填空题

1.f(?)为麦克斯韦速率分布函数,

Mi5R?T?1??8.31?100?2077.5J

Mmol22???pf(?)d?的物理意义是_____________,??0m?2f(?)d?的物理2意义是__________,速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________,其物理意义是_________。 解:

?dNdNdv??vp?vpN,vp~?速率区间内分子数占总分子数的百分率; vpNdv22??mv?mvdN,速率区间内分子的平均平动动能; 0~?f(v)dv?1;速率在0~?内的分子?02f(v)dv ??02N 0?f(v)dv????数占总分子数的比率为1。

2. 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示,其中曲线1为f(?)1_____________的速率分布曲线,__________的最概然速率较大(填“氢气”或“氧气”)。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线,温度分别为T1和T2且T1

Mmolo2?vp大?T1

3.设氮气为刚性分子组成的理想气体,其分子的平动自由度数为_________,转动自由度为_________;

分子内原子间的振动自由度为__________。解:3;2;0

4.在温度为27℃时,2mol氢气的平动动能为 ,转动动能为 。

3解:分子平动自由度3, 平动动能为2NA?k?2NA?kT?3RT?3?8.31?300?7479J

2分子转动自由度2, 转动动能为2NA?kT?2RT?2?8.31?300?4986J

5. 1mol氧气和2mol氮气组成混合气体,在标准状态下,氧分子的平均能量为_________,氮分子的平均能量为____________;氧气与氮气的内能之比为____________。 解:氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此

55Mi??kT??1.38?10?23?273?9.42?10?21J;??9.42?10?21J; E?RT ?1:2 22Mmol26.2 mol氮气,由状态A(p1,V)变到状态B(p2,V),气体内能的增量为__________。 解:内能E?Mii5RT?PV,内能的增量?E?(P2?P1)V

Mmol222三、计算题

1?. 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速率在?p到?p+10m/s之间的分子数N2之比。

解:根据麦克斯韦速率分布函数可得

?Nm3/2?4?()eN2?kT?mv22kTv2?(vp)?v(分子的质量为m) v?v?()evv?pp24v230002?(N1?N()ev?p430002)vpN30002104?110)e,1?(,N2?NeNvvpv?2pp3000?(30002)vp?e,

vp?2RT/MmolN130002?(2183)2?()e?e?0.78, ?2183m/s,N22183T,空气的摩尔质量为Mmol,试根据玻尔兹曼分布律n?n0?e?(mghkT)2?.假定大气层各处温度相同均为,

证明大气压强p与高度h(从海平面算起)的关系是h?强减到地面的75%。

?mgh/kT?p0e?mgh/kT,h?解:p?nkT?n0kTepRT?ln0。并求上升到什么高度处,大气的压

MmolgpRTpln0(分子的质量为m)

Mmolgp4

RTp0RT4ln?ln Mmolg0.75p0Mmolg33?.导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率?F叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为:

?4??2AdV (?F???0)

dN??N?N? (???F)?0 式中A为归一化常量。(1)由归一化条件求A。(2)证明电子气中电子的平均动能

h?2?k?(m?F)?EF,此处EF叫做费米能。

33NdN3v2dvA4?v2Adv4?vF解:(1)?f(v)dv?1, ???1,A??3 3,004?vN3NNvFFVF13VFv4dv3?12?32(2)?k??mvf(v)dv?m???mvF??EF 30220vF5?2?5315235?vF4.今测得温度为t1=15℃,压强为p1=0.76 m汞柱高时,氩分子和氖分子的平均自由程分别为:?Ar= 6.7×10?8 m和?Ne=13.2×10?8 m,求:

(1) 氖分子和氩分子有效直径之比dNe / dAr=?

(2) 温度为t2=20℃,压强为p2=0.15 m汞柱高时,氩分子的平均自由程?Ar=?

2?ArdNedNe?Ar6.7解:(1)??, ,????0.712 22d?13.2?d2?dnArNeNeAr/1(2) ????ArT2p1293?0.76??5.15?Ar?3.45?10?7m , ?Ar????5.152?d2p?Arp2T10.15?288kT,

?2?35.真空管的线度为 10m,其中真空度为1.33?10pa,设空气分子的有效直径为3?10?10m。求:

(1)温度为27℃时单位体积内的空气分子数;(2)平均碰撞频率;(3)平均自由程。

p1.33?10?3解:(1)n???3.21?1017个/m3,(2)v?8RT?8?8.31?300?467m/s, ?23kT1.38?10?300?Mmol3.142?0.02891z?2?d2vn?2?3.14?9?10?20?467?3.21?10?17?59.7s?1 ,(3)??v??7.82m 2z2?dnp(atm)练习 十五 A3知识点:热力学第一定律及其应用、绝热过程 B2一、选择题

C1. 如图所示为一定量的理想气体的p—V图,由图可得出结论 ( C ) 1V(10?3m3)(A)ABC是等温过程; (B)TA>TB; o312(C)TA

解:(C)pAVA?pCVC?TA?TC;过A、C作等温线,B在过A、C的等温线之上。

2. 一定量的理想气体,处在某一初始状态,现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度,可能实现的过程为 ( D)

(A)先保持压强不变而使它的体积膨胀,接着保持体积不变而增大压强; (B)先保持压强不变而使它的体积减小,接着保持体积不变而减小压强;

(C)先保持体积不变而使它的压强增大,接着保持压强不变而使它体积膨胀; (D)先保持体积不变而使它的压强减小,接着保持压强不变而使它体积膨胀。

解:(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。

3. 气体的摩尔定压热容Cp大于摩尔定体热容CV,其主要原因是 ( C )

(A)膨胀系数不同; (B)温度不同; (C)气体膨胀需作功; (D)分子引力不同。 解:(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程QV??E;对等压过程Qp??E?A。

4. 压强、体积和温度都相同(常温条件)的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量,它们对外作的功之比为 ( C )

(A)1:1; (B)5:9; (C)5:7; (D)9:5。

解:(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式:

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