练习 十三 知识点：理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能 一、选择题
1． 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T，分子质量为m，则分子速度在x方向的分量平均值为 （根据理想气体分子模型和统计假设讨论） ( )
（A）?x?18kT； （B）?x?3πm8kT3kT； （C）?x?； （D）?x?0。
2m3πm解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方
向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.
2． 若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 （ ）
（A）pV/m； （B）pV/(kT)； （C）pV/(RT)； （D）pV/(mT)。 解: (B)理想气体状态方程pV?MRT?NmRT?NRT?NkT
MmolNAmNA3．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于 （ ）
（A）气体的体积； （B）气体的压强；
（C）气体分子的平均动量；（D）气体分子的平均平动动能。
13解: (D)?k?mv2?kT (分子的质量为m)
224．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 （ ）
（A）氧气的温度比氢气的高； （B）氢气的温度比氧气的高； （C）两种气体的温度相同； （D）两种气体的压强相同。 解:(A) ?k?mO2TO2123,(分子的质量为m) ?mv?kT22mH2TH25．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的2倍，那么 （ ）
（A）温度和压强都升高为原来的2倍；
（B）温度升高为原来的2倍，压强升高为原来的4倍； （C）温度升高为原来的4倍，压强升高为原来的2倍； （D）温度与压强都升高为原来的4倍。 解:(D)根据公式p?1nmv2,p?nkT即可判断. (分子的质量为m) 36．一定量某理想气体按pV2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 （ ） （A）将升高； （B）将降低； （C）不变； （D）升高还是降低，不能确定。 解:(B) pV2＝恒量, pV/T＝恒量,两式相除得VT＝恒量 二、填空题 1．质量为M，摩尔质量为Mmol，分子数密度为n的理想气体，处于平衡态时，状态方程为_______________，状态方程的另一形式为_____________，其中k称为____________常数。 解: pV?MRT; p?nkT;玻耳兹曼常数
Mmol2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。（填“相同”或“不同”）。 解: 平均平动动能?k?123mv?kT,p?nkT?相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m) 223．理想气体的微观模型：
（1）___________________________________；（2）____________________________________； （3）____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。
解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。
4．氢分子的质量为3.3?10?24g，如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角方向以105cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上（碰撞是完全弹性的），则由这些氢气分子产生的压强为_________________。
1
2Nmvcos?2?1023s?1?3.3?10?27kg?103ms?1?0.70732解: (分子的质量为m) ??2.33?10N/mS2?10?4m25．宏观量温度T与气体分子的平均平动动能?k的关系为?k=___，因此，气体的温度是_______的量度。 解:?k?3kT, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 26?．储有氢气的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s，容器中气体分子的平均动能增加了__________J。 解:
1MiiR?T5?8.31?0.7Mv2?R?T,v???120.6m/s ?32Mmol2Mmol2?10分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加
i5k?T??1.38?10?23?0.7?2.42?10?23J 22三、计算题
1．有一水银气压计，当水银柱高度为0.76m时，管顶离水银柱液面为0.12m。管的截面积为2.0?10?4m2。当有少量氦气混入水银管内顶部，水银柱高度下降为0.60m。此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶？（氦气的摩尔质量为0.004kg/mol，0.76m水银柱压强为1.013?105Pa）
解：设管顶部氦气压强为p,p?0.16mHg?0.16?1.013?105?2.13?104pa
0.76 V?0.28?2.0?10?4?5.6?10?5m3 由理想气体状态方程pV?MRT可得, MmolpVMmol2.13?104?5.6?10?5?0.004??1.91?10?6(kg) M?RT8.31?(27?273)2．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为?k= 6.21×10?21 J。求：
(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；
(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量NA＝6.022×1023 mol?1，玻尔兹曼常量k＝1.38×10?23 J·K?1) 解：(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同
2?k?kT?mv2?6.21?10?21J,(分子的质量为m)
32122?k2?kNA2?6.21?10?21?6.022?1023v????484m/s
mMmol32.0?10?32?k2?6.21?10?21(2) 氧气的温度 T???300K ?233k3?1.38?103．（1）有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半，求气体压强变为原来的几倍？（2）这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍？分子的方均根速率变为原来的几倍？
解：(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知
MVMp?2T?2(273?177)RT,p??RT?,???3,p??3p Mmol2MmolpT3003?k?T?273?1733????kT???1.5 (2) 根据分子平均平动动能公式可知 ?k?kT,k,
?kT273?2722pV?根据方均根速率公式v2?3RT3RT?,v?2?,v?2/v2?T?/T?3/2?1.225 MmolMmol4． 水蒸气分解为同温度T的氢气和氧气H2O →H2＋
11O2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和摩22尔氧气。当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。 解：水蒸汽的自由度i?6，EH2O?Mi?RT?3RT Mmol22
氢气和氧气的自由度均为5，EH2?EO2? 内能的增量?E?51515RT??RT?RT 2224153RT?3RT?RT 445．有 2×10?3 m3刚性双原子分子理想气体，其内能为6.75×102 J。(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数
为 5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解：（1）因为PV?MM55RT，内能E?RT?N?kT。 MmolMmol222E2?6.75?102??1.35?105N/m2 所以 p??35V5?2?10332E3E3?6.75?102?21???7.5?10J （2）分子的平均平动动能?k?kT??22225N5N5?5.4?1033?k?kT??1.38?10?23?T?7.5?10?21J，T?362K
226．一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K，
二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。
解：设氦气、氧气的摩尔数分别为?1、?2，根据理想气体状态方程可知
V?TVp??2RT2,2?1 p??1RT1,2?1T22 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒 ??E2?,?1 E1?E2?E13535RT1??2RT2??1RT??2RT, 22228T1T23?T?5?2T23T1?5(?2/?1)T23T1?5(T1/T2)T2??284.4k T?11??3T2?5T13?1?5?23?5(?2/?1)3?5(T1/T2)练习 十四 知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程 一、选择题
1． 在一定速率?附近麦克斯韦速率分布函数 f(?)的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 （ ）
（A）速率为?的分子数； （B）分子数随速率?的变化；
（C）速率为?的分子数占总分子数的百分比；
（D）速率在?附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
解：(D) f(v)?dN,速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
Ndv2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）
（A）这两种气体的平均动能相同； （B）这两种气体的平均平动动能相同； （C）这两种气体的内能相等； （D）这两种气体的势能相等。
解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,i?3;氢气为双原子(刚性)分子, i?5 3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z与温度T的关系为 ( ) （A）与T无关； （B）与T成正比； （C）与T成反比； （D）与T成正比； （E）与T成反比。
8R 解：(C)z?2vn?d2?28RTp?d2?2?d2p?MmolkT?MmolT4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）
（A）kT/4； （B）kT/3； （C）kT/2； （D）3kT/2； （E）kT。 解：(C)
5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）
（A）部分势能和部分动能； （B）全部势能； （C）全部转动动能； （D）全部平动动能； （E）全部振动动能。
解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0
6． 1mol双原子刚性分子理想气体，在1atm下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）
3
（A）23J； （B）46J； （C）2077.5J； （D）1246.5J； （E）12500J。 解：(C)?E?二、填空题
1．f(?)为麦克斯韦速率分布函数，
Mi5R?T?1??8.31?100?2077.5J
Mmol22???pf(?)d?的物理意义是_____________，??0m?2f(?)d?的物理2意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。 解：
?dNdNdv??vp?vpN,vp~?速率区间内分子数占总分子数的百分率; vpNdv22??mv?mvdN,速率区间内分子的平均平动动能; 0~?f(v)dv?1;速率在0~?内的分子?02f(v)dv ??02N 0?f(v)dv????数占总分子数的比率为1。
2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为f(?)1_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或“氧气”）。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T1和T2且T1 Mmolo2?vp大?T1 3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________； 分子内原子间的振动自由度为__________。解：3;2;0 4．在温度为27℃时，2mol氢气的平动动能为 ，转动动能为 。 3解：分子平动自由度3, 平动动能为2NA?k?2NA?kT?3RT?3?8.31?300?7479J 2分子转动自由度2, 转动动能为2NA?kT?2RT?2?8.31?300?4986J 5． 1mol氧气和2mol氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。 解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此 55Mi??kT??1.38?10?23?273?9.42?10?21J;??9.42?10?21J; E?RT ?1:2 22Mmol26．2 mol氮气，由状态A(p1,V)变到状态B(p2,V)，气体内能的增量为__________。 解：内能E?Mii5RT?PV,内能的增量?E?(P2?P1)V Mmol222三、计算题 1?． 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速率在?p到?p+10m/s之间的分子数N2之比。 解：根据麦克斯韦速率分布函数可得 ?Nm3/2?4?()eN2?kT?mv22kTv2?(vp)?v(分子的质量为m) v?v?()evv?pp24v230002?(N1?N()ev?p430002)vpN30002104?110)e，1?(,N2?NeNvvpv?2pp3000?(30002)vp?e, vp?2RT/MmolN130002?(2183)2?()e?e?0.78, ?2183m/s，N22183T，空气的摩尔质量为Mmol，试根据玻尔兹曼分布律n?n0?e?(mghkT)2?．假定大气层各处温度相同均为， 证明大气压强p与高度h(从海平面算起)的关系是h?强减到地面的75%。 ?mgh/kT?p0e?mgh/kT,h?解：p?nkT?n0kTepRT?ln0。并求上升到什么高度处，大气的压 MmolgpRTpln0(分子的质量为m) Mmolgp4 RTp0RT4ln?ln Mmolg0.75p0Mmolg33?．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率?F叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为： ?4??2AdV (?F???0) dN??N?N? (???F)?0 式中A为归一化常量。（1）由归一化条件求A。（2）证明电子气中电子的平均动能 h?2?k?(m?F)?EF，此处EF叫做费米能。 33NdN3v2dvA4?v2Adv4?vF解：(1)?f(v)dv?1, ???1，A??3 3,004?vN3NNvFFVF13VFv4dv3?12?32(2)?k??mvf(v)dv?m???mvF??EF 30220vF5?2?5315235?vF4．今测得温度为t1＝15℃，压强为p1＝0.76 m汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：?Ar＝ 6.7×10?8 m和?Ne=13.2×10?8 m，求： (1) 氖分子和氩分子有效直径之比dNe / dAr＝？ (2) 温度为t2＝20℃，压强为p2＝0.15 m汞柱高时，氩分子的平均自由程?Ar＝？ 2?ArdNedNe?Ar6.7解：(1)??, ,????0.712 22d?13.2?d2?dnArNeNeAr/1(2) ????ArT2p1293?0.76??5.15?Ar?3.45?10?7m ， ?Ar????5.152?d2p?Arp2T10.15?288kT, ?2?35．真空管的线度为 10m，其中真空度为1.33?10pa，设空气分子的有效直径为3?10?10m。求： （1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。 p1.33?10?3解：(1)n???3.21?1017个/m3,(2)v?8RT?8?8.31?300?467m/s， ?23kT1.38?10?300?Mmol3.142?0.02891z?2?d2vn?2?3.14?9?10?20?467?3.21?10?17?59.7s?1 ，(3)??v??7.82m 2z2?dnp(atm)练习 十五 A3知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程 B2一、选择题 C1． 如图所示为一定量的理想气体的p—V图，由图可得出结论 ( C ) 1V(10?3m3)（A）ABC是等温过程； （B）TA>TB； o312（C）TA 解：(C)pAVA?pCVC?TA?TC;过A、C作等温线,B在过A、C的等温线之上。 2． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D） （A）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强； （C）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。 解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。 3． 气体的摩尔定压热容Cp大于摩尔定体热容CV，其主要原因是 （ C ） （A）膨胀系数不同； （B）温度不同； （C）气体膨胀需作功； （D）分子引力不同。 解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程QV??E;对等压过程Qp??E?A。 4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ） （A）1:1； （B）5:9； （C）5:7； （D）9:5。 解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式: 5