2017春季中考数学第五讲
图形的平移、旋转、折叠问题
【基础回顾】
考点聚焦
1.了解轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基本性质,能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
2.掌握中心对称的概念,会判断一些基本图形的中心对称性,理解中心对称与旋转变换的区别. 3.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
考点一 轴对称图形、轴对称变换
例1、如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处, 且DE∥BC,下列结论:①△BDF是等腰三角形;②DE=1BC;③四边形ADFE
2是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.其中一定正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拨】如图,分别过点D，E作BC的垂线DG，EH；连接AF,由于折叠是轴对称变换知AF与DE垂直,因为DE∥BC，所以AF与BC垂直,且AM=MF,可以证明点D，E分别是AB,AC的中点,即DE是△ABC的中位线,所以②DE=1BC是正确的；由于折叠是轴对称变换
2知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以①△BDF是等腰三角形是正确的；因DG∥AF∥EH,所以∠BDG=∠DAM,又因为DG是等腰三角形BDF
的高,所以∠BDF=2∠DAM,同 理 ∠CEF = 2 ∠EAM, 所以 ④∠BDF+∠FEC=2∠A是正确的；如图显然四边形ADFE不是菱形,③是错误的． 【参考答案】C
【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.轴对称图形的性质：(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等、对应角相等,对应的图形是全等图形. 【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题,本题巧妙的运用平行线性质、折叠全等不变性质得到三角形中位线,如果能顺利地判断出这一点,其他问题就将迎刃而解.在解题时不要受给出的图形影响,如△ABC像是等腰三角形,就认为△ABC就是等腰三角形,那样的话四边形ADFE就是菱形了,造成判断上的错误.此外,轴对称图形是指一个图形,而轴对称变换是指两个图形之间的关系.
考点二 中心对称图形、中心对称
例2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).
【思路点拨】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形是轴对称图形； 把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能和原图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知A是轴对称图形,且有1条对称轴,但不是中心对称图形；B是中心对称图形,不是轴对称图形；C是轴对称图形,有1条对称轴,但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形,有4条对称轴． 【参考答案】B
【方法归纳】如果一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合,我们把这种图形叫做中心对称图形.成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分. 【误区提醒】中心对称图形是指一个图形,而中心对称是指两个图形之间的关系.
考点三 平移变换
例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0）， 点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置， 此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 .
【思路点拨】作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，∠AOB=60°， 在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=3，从而求得 点A的坐标为（1，3），直线OA的解析式为y=3x,当x=3时，y=33,所以 点A′的坐标为（3，33），所以点A′是由点A向右平移2个单位，向上平移 23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,23）. 【参考答案】（4,23）
【方法归纳】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质.求出点A′的坐标是解题的关键.
考点四 旋转变换
例4、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．
(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；
(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．
【思路点拨】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．
解：(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°, ∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.
∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°; (2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形． ∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=1BC．
2又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=1BC=AC.∴△ADC为正三角形．
2①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°. ∵CA=CE=CD=CF,
∴四边形ADEF为矩形．
②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．
显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,
∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°. ∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,
∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE． 又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．
【方法归纳】旋转的概念：在平面内,将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一个角度,这种图形的运动称为旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角. 旋转变换的性质：经过旋转,图形上每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,旋转变换不改变图形的形状和大小,是全等变换.
【误区提醒】决定旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度,作图按三个步骤进行：(1)在已知图形上找一些关键的点；(2)画出这些关键点的对应点；(3)顺次连接这些对应点.
考点五 图形变换的应用
例5、如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？ （2）如果AM=1，sin∠DMF=
3，求AB的长. 5