习题三解答
1．已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6，条件概率P(B|A)?0.8，试求P(AB)及P(AB).
解 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4
P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)
?1?0.5?0.6?0.4?0.3
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解 p?10?9?90819. ??100?99?9899?9810783．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解 记A?{基金}，B?{股票}，则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19
P(AB)0.19??0.327. P(A)0.58P(AB)0.19??0.678. (2) P(A|B)?P(B)0.28(1) P(B|A)?4．给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：
P(A|B)?P(A),P(A|B)?P(A), P(B|A)?P(B)，P(B|A)?P(B).
P(AB)0.151???P(A) P(B)0.32P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A) P(A|B)?P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15??0.3?P(B) P(B|A)?P(A)0.5解 P(A|B)? P(B|A)?P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B) P(A)1?P(A)0.50.55．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，
若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 B?{迟到}，A1?{坐火车}，A2?{坐船}，A3?{坐汽车}，A4?{乘飞机}，则
B??BAi，且按题意
i?14P(B|A1)?0.25，P(B|A2)?0.3，P(B|A3)?0.1，P(B|A4)?0.
由全概率公式有：
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145
i?14 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，解 (1) 记B?{该球是红球}，已知P(B|A1)?6/10，
P(B|A2)?8/14，所以
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?161841 ????21021470(2) P(B)?147? 24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02
?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出\?\和\?\，由于通信受到干扰，当发出\?\时，分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\，同样，当发出信号\?\时，分别以0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率；(2) 当收到\?\时，发出\?\的概率。
解 记 B?{收到信号\?\}，A?{发出信号\?\} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52
(2) P(A|B)?P(A)P(B|A)0.6?0.812??.
P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的
25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。
解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D?{次品}，因此 P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.014?0.008?0.0345
P(A|D)?P(A)P(D|A)0.25?0.05??0.362
P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406
P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.4?0.02P(C|D)???0.232
P(D)0.034510．设A与B独立，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：P(A?B)，P(A?B)，
P(A?B).
解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq
11．已知A,B独立，且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB)，求P(A),P(B). 解 因P(AB)?P(AB)，由独立性有 P(A)P(B)?P(A)P(B)
从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)
再由 P(AB)?1/9，有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，
2/3，求目标被命中的概率。
A3?{丙命中}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，解 记 B?{命中目标}，则 B??Ai，
i?13因而
?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率
为p，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。
1 2 解 记 A?{通达}，
Ai?{元件i通达}，i?1,2,3,4,5,6
3 4 则 A?A1A2?A3A4?A5A6， 所以
5 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6) 图3.1 ?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)
?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
?5?32解 p??2?3??(0.2)(0.8)?0.051.
??15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
?3??3?32解 p??. ?0.096?0.104?3??(0.2)???2???0.8?(0.2)?0.008????16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).
解 记Ai?{A在第i次试验中出现}，i?1,2,3. p?P(A)
?3?19依假设 ?P?Ai??1?P(A1A2A3)?1?(1?p)3 ???27?i?1?8所以， (1?p)3?， 此即 p?1/3.
2717．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai?{第i道工序为次品}，i?1,2,3. 则次品率
?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097
?i?1?18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 A?{译出密码}， Ai?{第i人译出}，i?1,2,3. 则
?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.7075