概率统计简明教程习题答案

习题三解答

1.已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6,条件概率P(B|A)?0.8,试求P(AB)及P(AB).

解 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.5?0.6?0.4?0.3

2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率。

解 p?10?9?90819. ??100?99?9899?9810783.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19

(1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?

解 记A?{基金},B?{股票},则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19

P(AB)0.19??0.327. P(A)0.58P(AB)0.19??0.678. (2) P(A|B)?P(B)0.28(1) P(B|A)?4.给定P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.15,验证下面四个等式:

P(A|B)?P(A),P(A|B)?P(A), P(B|A)?P(B),P(B|A)?P(B).

P(AB)0.151???P(A) P(B)0.32P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A) P(A|B)?P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15??0.3?P(B) P(B|A)?P(A)0.5解 P(A|B)? P(B|A)?P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B) P(A)1?P(A)0.50.55.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,

若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。

解 B?{迟到},A1?{坐火车},A2?{坐船},A3?{坐汽车},A4?{乘飞机},则

B??BAi,且按题意

i?14P(B|A1)?0.25,P(B|A2)?0.3,P(B|A3)?0.1,P(B|A4)?0.

由全概率公式有:

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145

i?14 6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率:

(1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。

A1?{取自甲袋},A2?{取自乙袋},解 (1) 记B?{该球是红球},已知P(B|A1)?6/10,

P(B|A2)?8/14,所以

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?161841 ????21021470(2) P(B)?147? 24127.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。

解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02

?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%

8.发报台分别以概率0.6,0.4发出\?\和\?\,由于通信受到干扰,当发出\?\时,分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\,同样,当发出信号\?\时,分别以0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率;(2) 当收到\?\时,发出\?\的概率。

解 记 B?{收到信号\?\},A?{发出信号\?\} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52

(2) P(A|B)?P(A)P(B|A)0.6?0.812??.

P(B)0.52139.设某工厂有A,B,C三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的

25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间A,B,C生产的概率。

解 为方便计,记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品,事件D?{次品},因此 P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.014?0.008?0.0345

P(A|D)?P(A)P(D|A)0.25?0.05??0.362

P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406

P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.4?0.02P(C|D)???0.232

P(D)0.034510.设A与B独立,且P(A)?p,P(B)?q,求下列事件的概率:P(A?B),P(A?B),

P(A?B).

解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq

11.已知A,B独立,且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB),求P(A),P(B). 解 因P(AB)?P(AB),由独立性有 P(A)P(B)?P(A)P(B)

从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)

再由 P(AB)?1/9,有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.

12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,

2/3,求目标被命中的概率。

A3?{丙命中},A1?{甲命中},A2?{乙命中},解 记 B?{命中目标},则 B??Ai,

i?13因而

?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率

为p,求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。

1 2 解 记 A?{通达},

Ai?{元件i通达},i?1,2,3,4,5,6

3 4 则 A?A1A2?A3A4?A5A6, 所以

5 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6) 图3.1 ?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)

?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6

14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

?5?32解 p??2?3??(0.2)(0.8)?0.051.

??15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

?3??3?32解 p??. ?0.096?0.104?3??(0.2)???2???0.8?(0.2)?0.008????16.设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在每次试验中出现的概率P(A).

解 记Ai?{A在第i次试验中出现},i?1,2,3. p?P(A)

?3?19依假设 ?P?Ai??1?P(A1A2A3)?1?(1?p)3 ???27?i?1?8所以, (1?p)3?, 此即 p?1/3.

2717.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。

解 注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai?{第i道工序为次品},i?1,2,3. 则次品率

?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097

?i?1?18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率。

解 记 A?{译出密码}, Ai?{第i人译出},i?1,2,3. 则

?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.7075

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