§3.1.2 用二分法求方程的近似解教案
【教学目标】
1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解;
2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
【教学重难点】
教学重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学难点:精确度概念的理解,求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 探究任务:二分法的思想及步骤
问题:有12个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要求次数越少越好,解法:
第一次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球;
第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球. 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求y?lnx?2x?6的零点所在区间?如何找出这个零点?
新知:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y?f(x),通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
反思:
给定精度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如何呢? ①确定区间[a,b],验证f(a)f(b)?0,给定精度ε;
②求区间(a,b)的中点x1;
③计算f(x1): 若f(x1)?0,则x1就是函数的零点; 若f(a)f(x1)?0,则令b?x1(此时零点x0?(a,x1)); 若f(x1)f(b)?0,则令a?x1(此时零点x0?(x1,b));
④判断是否达到精度ε;即若|a?b|??,则得到零点零点值a(或b);否则重复步骤②~④.
(三)典型例题
例1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程2x?3x?7的近似解. 解析:如何进一步有效的缩小根所在的区间。 解:原方程即为2?3x?7?0,令f(x)?2?3x?7,用计算器或计算机作出对应的表格与图象(见课本90页)
则f(2)f(1)?0,说明在区间(1,2)内有零点x0,
取区间(1,2)的中点1.5,用计数器计算得f(1.5)?0.33,因为f(1)f(1.5)?0,所以
xxx0?(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点1.25,用计数器计算得f(1.25)??0.87,因为f(1)f(1.5)?0,所以x0?(1.25,1.5).
同理可得x0?(1.375,1.5)x0?(1.375,1.4375)
由于
1.375?1.4375?0.0625?0.1,
所以方程的近似解可取为1.4375.
点评:利用同样的方法可以求方程的近似解。
变式训练1:求方程ln(x)?2x?3?0的根大致所在区间.
例2 求方程log3x?x?3的解的个数及其大致所在区间.
分析:用二分法求方程的近似解的原理的应用,学生小组合作共同完成。
变式训练2
求函数f(x)?x3?x?2x?2的一个正数零点(精确到0.1)
零点所在区间 中点函数值符号 区间长度 (四)小结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。
【板书设计】
一、二分法的思想及