椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．

(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 性质 范围 顶点 焦点 准线 －a≤x≤a －b≤y≤b A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) F1(－c,0) F2(c,0) a2a2l1：x＝－ l2：x＝ cc长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b F1F2＝2c ce＝，且e∈(0,1) ac2＝a2－b2 对称轴：坐标轴 －b≤x≤b －a≤y≤a A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)， B2(b,0) F1(0，－c) F2(0，c) a2a2l1：y＝－ l2：y＝ cc 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 对称性 对称中心：原点

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( )

(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )

1

(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )

(4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线．设d为平面内一动点P到定直线l的5

距离，若d＝|PF|，则点P的轨迹为椭圆．( )

4

[解析] (1)错误，|PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点P的轨迹为线段AB；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△PF1F2的周长为2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

x2y2102．(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.

5m5

c25－m1022

[解析] 由题设知a＝5，b＝m，c＝5－m，e＝2＝＝()＝，∴5－m＝2，∴m＝3.[答案] 3

a555

2

2

2

2

3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．

x2y2

[解析] 椭圆的焦点在y轴上，且c＝6,2a＝20，∴a＝10，b＝a－c＝64，故椭圆方程为＋＝1.

64100

2

2

2

x2y2

[答案] ＋＝1

64100

x2y2

4．(2014·无锡质检)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，

43△FAB的面积是________．

[解析] 直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8， b22×31

此时，|AB|＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.[答案] 3

a22

1x2y2

5．(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是

2ab线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

?

[解析] 设A(x，y)，B(x，y)，则?xy

?a＋b＝1，

1

1

2

2

2222222

x2y11

＋＝1，a2b2

?x1－x2??x1＋x2??y1－y2??y1＋y2?∴＋＝0，

a2b2y1－y2b2x1＋x2

∴＝－2·.

ay1＋y2x1－x2

y1－y21b21

∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－2＝－，

2a2x1－x2

c22

∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.[答案] a22

考向1 椭圆的定义与标准方程

x2y2

【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率

ab

2

为

3，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为________． 3

(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________． [解析] (1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝43，∴a＝3.

c32x2y222

∵e＝＝，c＋b＝a，∴c＝1，b＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.

a332

a2

(2)∵椭圆的一条准线为x＝－4，∴焦点在x轴上且＝4，又2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4，

cx2y2x2y2x2y2

∴该椭圆方程为＋＝1.[答案] (1)＋＝1 (2)＋＝1,

843284【规律方法】

(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不

明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

1

【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，

2则C的方程是________．

x2y2

(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是2＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦

a25AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为________．

[解析] (1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在x轴上；c＝1.

c1x2y2222

又离心率为＝，故a＝2，b＝a－c＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.

a243

(2)∵a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2＝25＋c2＝41，则a＝41. 由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，

x2y2

∴△ABF2的周长为4a＝441.[答案] (1)＋＝1 (2)441

43

考向2 椭圆的几何性质

x2y2

【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

ab右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________．

(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2

＝30°，则椭圆的离心率为________．

a2b2bcb2bc22[解析] (1)依题意，d2＝－c＝.又BF＝c＋b＝a，所以d1＝.由已知可得＝6·，所以6c2

ccacac3＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝＝. a3

3

π

(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，

2

2c333

设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，∴离心率e＝＝. [答案] (1) (2), 2a333【规律方法】

1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．

2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： c

(1)求出a，c，代入公式e＝；

a

(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

x2y2【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，

abF2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．

(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．

[解析]

(1)如图，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|，且|PF2|＝

3

|FF|， 312

223c3a3

又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝a，于是|F1F2|＝a，因此离心率e＝＝＝. 33a3a3x2y2

(2)法一：设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.

ab在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn

?m＋n?2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2≥1，即e≥1. ＝4a－3mn≥4a－3·

a42?2?

2

2

2

1?

又0

法二：如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足60°≤∠F1AF2即可，

1又△F1AF2是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以0°<∠F1F2A≤60°，所以≤cos∠F1F2A<1，

2

4

3?1??1?又e＝cos∠F1F2A，所以e的取值范围是?，1?. [答案] (1) (2)?，1? 3?2??2?课堂达标练习 一、填空题

1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．

2

.过F1的直线2

x2y22c2b21

[解析] 设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，由e＝知＝，故2＝.

ab2a2a2

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8. x2y2x2y2

∴椭圆C的方程为＋＝1.[答案] ＋＝1

168168

x2y2

2．(2013·四川高考改编)从椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆

ab与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

c

[解析] 设P(－c，y0)代入椭圆方程求得y0，从而求得kOP，由kOP＝kAB及e＝可得离心率e.

a

222

c2?x2y2c2y0b422?2a－c 由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入2＋2＝1，得2＋2＝1，则y0＝b?1－a2?＝b·2＝2.

ababaa

b2?b2b2b2?∴y0＝或y0＝－(舍去)，∴P?－c，a?，∴kOP＝－.

aaac

b－0bbb2

∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝＝－. 又∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，∴－＝－，∴b＝c.

aaac0－accc22

∴e＝＝22＝＝. [答案] 2a222cb＋c

x2y23．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分

94别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.

x2y2

[解析] 椭圆＋＝1中，a＝3. 如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.

94

∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，

5