因动点产生的相似三角形问题
例1 上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题
如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)． （1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
思路点拨
1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°． 2．求△ABC的面积，一般用割补法．
3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．
满分解答
（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．
k，得k＝8． x8（2）将点B(n, 2)，代入y?，得n＝4．
x将点A(2, 4)代入y?所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2． 所以点C的坐标为(0,－2)．
由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°． 图2 所以S△ABC＝
11BA?BC＝?22?42＝8． 22（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210． 由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE． 所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：
1
①如图3，当
CEAD时，CE＝AD＝22． ?CAAC此时△ACD≌△CAE，相似比为1． ②如图4，当
CEACCE210时，．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直??CAAD21022距离都是10，所以E(10, 8)．
图3 图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．
由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．
图5
2
例2 武汉市中考第24题
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1 图2
思路点拨
1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程． 2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．
3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．
满分解答
（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况：
① 如果BPBA5tBQ?BC，那么8?4t?108．解得t＝1． ② 如果
BPBQ?BCBA，那么5t8?4t?810．解得t?3241．
图3 图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D． 在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝
45，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t． 当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．
所以ACCD68?4QC?PD，即4t?t3t．解得t?78． 3