第3讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题
[做真题]
1
(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的
22两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点．
1??2
证明：设D?t，－?，A(x1，y1)，则x1＝2y1.
2??1
2
由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.
x1－tx2
y1＋
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
?1?所以直线AB过定点?0，?. ?2?
[明考情]
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖．
定值问题
1．直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示：(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．
案例 (2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y(1)略 2＝x＋mx－2与x轴交于A，(2)BC的中点坐标为(x2，1)，可得BC的中垂线方程为y－1＝x2(x－x2). 2222B两点，点C的坐标为(0，[关键1：求出点的坐标及直线方程] 1)，当m变化时，解答下列关键步 问题： (1)能否出现AC⊥BC的情由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－. 2m
况？说明理由； (2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． mmx＝－，x＝－，???2?2联立?又x＋mx－2＝0，可得? 1x1???y－2＝x（x－2），?y＝－2.222221m＋9所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝. 222[关键2：求圆心坐标及半径] 故圆在y轴上截得的弦长为2m2?m?[关键3：消元求弦长]即过A，r－??＝3，?2?22B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3. 2．从特殊到一般求定值：常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．
案例 (1)略 (2015·高考四川卷)如图，椭圆E：(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD. →→→→→→→→关键步 此时，OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋PC·PD＝－2－1x2y22＋＝1(a>b>0)的离心率是，点a2b22＝－3. →→P(0，1)在短轴CD上，且PC·PD＝－[关键1：分类讨论，证明当AB的斜率不存在时OA·OB1. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在→→→→常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． →→＋λPA·PB为定值] 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立→→xy??＋＝1，22得(2k＋1)x＋4kx－2＝0. ?42??y＝kx＋1，其判别式Δ＝(4k)＋8(2k＋1)>0，所以x1＋x2＝－4k2，x1x2＝－2.[关键2：当直线AB的斜率存22k＋12k＋1在时，联立直线方程与椭圆方程，用参数 表示交点坐标的联系] 2222 →→→→从而OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝2
（－2λ－4）k＋（－2λ－1）λ－1＝－2－λ－2. 22k＋12k＋1λ－1所以，当λ＝1时，－2－λ－2＝－3.[关键3：2k＋1→→→→构造OA·OB＋λPA·PB关 →→→→于k，λ的表达式，得到当λ＝1时OA·OB＋λPA·PB的值] →→→→此时，OA·OB＋λPA·PB＝－3为定值． →→→→故存在常数λ＝1，使得OA·OB＋λPA·PB为定值－3. [典型例题] 2x2y2
(2019·贵阳市第一学期检测)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
abF1，F2，点M为短轴的上端点，MF1·MF2＝0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，
且|AB|＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点．若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，证明：k1＋k2为定值．
→→
【解】 (1)由MF1·MF2＝0，得b＝c，
因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点， 且|AB|＝2，
→
→
b22所以＝，
a2b＝c??b2??a＝2
??. ＝?a2
?b＝1?
??a＝b＋c2
22
2
2
2
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)证明：由椭圆C的方程＋y＝1与点(2，－1)，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，
2即y＝kx－2k－1，
将y＝kx－2k－1代入＋y＝1中，得(1＋2k)x－4k(2k＋1)x＋8k＋8k＝0，
2由题意知Δ＝－16k(k＋2)>0，得－2 x2 2 x2 2 x2 2222