2014年全国高考新课标1卷文科数学试题
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|-1 A．(-2,1) B．(-1,1) C．(1,3) D．(-2,3) 2．若tanα>0，则( ) A．sinα>0 B．cosα>0 C．sin2α>0 D．cos2α>0 13．设z??i，则|z|=( ) 1?i231A． B． C． D．2 222x2y2?1(a?0)的离心率为2，则a=( ) 4．已知双曲线2?a365A．2 B． C． D．1 225．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论 中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 6． 设D,E,F分别为ΔABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB?FC?( ) 11A．AD B．AD C．BC D．BC 227．在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y?cos(2x?)，④y?tan(2x?)中， 64最小正周期为π的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 9．执行下面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=( ) 2071615A． B． C． D． 2358 510．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0=( ) 4A．1 B．2 C．4 D．8 1 ???x?y?a,11．设x，y满足约束条件?且z=x+ay的最小值为7，则a= ( ) x?y??1,?A． -5 B．3 C．-5或3 D．5或-3 12．已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范 围是( ) A．(2,+∞) B．(1,+∞) C．(-∞, -2) D．(-∞, -1) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行， 则2本数学书相邻的概率为________. 14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. ?ex?1,x?1?15．设函数f(x)??1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是______. 3??x,x?116．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山 顶C为测量观测点. 从A点测得M点的仰角： ∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及 ∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°. 已知 山高BC=100m，则山高MN=______m. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。 17．（本小题满分12分） 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根。 ?a?(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求数列?n的前n项和. n?2?? 2 18．（本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 6 26 38 22 8 频数 (Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图： (Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅲ)根据以上抽样调查数据，能否认为该 企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 19．(本题满分12分) 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形， B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C. (Ⅰ)证明：B1C⊥AB; (Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1， 求三棱柱ABC-A1B1C1的高. 3 20．（本小题满分12分） 已知点P(2,2)，圆C: x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (Ⅰ)求M的轨迹方程； (Ⅱ)当|OP|=|OM|时，求l的方程及ΔPOM的面积. 21．（本小题满分12分） 1?a2x-bx(a≠1)，设函数f(x)= alnx+曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0 2a(Ⅰ)求b; (Ⅱ)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a 的取值范围。 a?1 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ?x?2+tx2y2?1，直线l：?已知曲线C：?（t为参数） 49?y?2?2t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 4 2014年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案 一、选择题 BCBDC AABDA BC 2二、填空题 13． 14．A 15．(-∞,8] 16．150 3三、解答题 17．解：(Ⅰ) 解x2-5x+6=0得的两个根为2，3，依题a2=2，a4=3，…2分 13所以2d=1，故d?，从而a1?， …4分 221所以通项公式为an=a2+(n-2)d?n?1 …6分 2aann?2(Ⅱ) 由(Ⅰ)知n，设?{}的前n项和为Sn，则 nn?1n22234n?1n?2134n?1n?2，② …8分 Sn?2?3?...?n?n?1，① Sn?3?4?...?n?1?n?22222222221311n?1n?2311n?2①-②得Sn??3?4?...?n?1?n?2??(1?n?1)?n?2 2422224422n?4所以，Sn?2?n?1 …12分 218．解：(Ⅰ)…4分 (Ⅱ)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38 +110×0.22+120×0.08=100. 所以平均数估计值为100，…6分 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38 +(10)2×0.22+(20)2×0.08=104. 方差的估计值为104. …8分 (Ⅲ)依题0.38+0.22+0.08=0.68 < 80％， 所以该企业生产的这种产品不符合“质量指 标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。 …12分 19．(Ⅰ)证明：连接 BC1，则O为B1C与BC1的交点， ∵AO⊥平面BB1C1C. ∴AO⊥B1C， …2分 因为侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，…4分 ∴BC1⊥平面ABC1，∵AB?平面ABC1， 故B1C⊥AB. …6分 (Ⅱ)作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD， 又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交线为AD， 作OH⊥AD，垂足为H，∴OH⊥平面ABC. …9分 5