离散数学集合论部分综合练习
本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。
一、单项选择题 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（ ）． A．A?B，且A?B B．A?B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{ a }}?A B．{ a }?A C．{2}?A D．??A
3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}?A B．{2}?A
C．{a}?A D．??A
4．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ ）． A．B ? A，且B?A B．B? A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．
A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}}
C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}
6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ）． A．1024 B．10 C．100 D．1
7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={
A．自反的 B．对称的
C．传递且对称的 D．反自反且传递的
8．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={?a , b??a , b?A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（ ）．
A．自反的 B．对称的
C．对称和传递的 D．反自反和传递的
9．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（ ）个．
A．0 B．2 C．1 D．3 10．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = {?1 , 1?，?2 , 2?，?2 , 3?，?4 , 4?}，
1
S = {?1 , 1?，?2 , 2?，?2 , 3?，?3 , 2?，?4 , 4?}，
则S是R的（ ）闭包．
A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对 11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系
1 的哈斯图如图一所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}，
3 2 则元素3为B的（ ）．
A．下界 B．最大下界 4 5
图一 C．最小上界 D．以上答案都不对
12．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合
B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．
A．8、2、8、2 B．无、2、无、2 C．6、2、6、2 D．8、1、6、1
13．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={
A．R1和R2 B．R2 C．R3 D．R1和R3
二、填空题 1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 ．
2．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是 ． 应该填写：{?,{a,b},{a},{b }}
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为 ． 4．设集合A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系，
R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B}
则R的关系矩阵MR＝
． 5．设集合A={a,b,c}，A上的二元关系
R={
则(R?S)－1= ．
6．设集合A=｛a,b,c｝，A上的二元关系R={
7．若A={1,2}，R={
8．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 ．
2
9．b，c}，B={1，2}，A→B， 设A={a，作f：则不同的函数个数为 ．
三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．设A、B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C 是否成立？并说明理由．
2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断 结论：“R-11、R1∪R2、R1?R2是自反的” 是否 成立？并说明理由．
3． 若偏序集
则集合A的最大元为a，最小元不存在．
图一 4．若偏序集
则集合A的最大元为a，最小元不存在．
5．设N、R分别为自然数集与实数集，f：N →R，f (x)=x+6，则f是单射．
四、计算题
图二
1．设集合A＝{a, b, c}，B={b, d, e}，求
（1）B?A； （2）A?B； （3）A－B； （4）B?A． 2．设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算
（1）（A?B） （2）（A∪B） （3）（A∪B）?（A∩B）． 3．设集合A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A?B）； （2）（A∩B）； （3）A×B．
4．设A={0，1，2，3，4}，R={
5．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}． （1）写出关系R的表示式； （2）画出关系R的哈斯图； （3）求出集合B的最大元、最小元．
6．设集合A＝{a, b, c, d}上的二元关系R的关系图
a d 如图三所示．
c （1）写出R的表达式； b （2）写出R的关系矩阵； 图三 （3）求出R2．
7．设集合A={1，2，3，4}，R={
五、证明题
1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
2．试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
3
3．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a?A，存在b?A，使得
4．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：R?S也是A上的偏序关系．
参考解答
一、单项选择题
1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B
9．B 10．C 11．C 12．B 13．B
二、填空题 1．2n
2．{?,{a,b},{a},{b }}
3．{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>
??110?4．?000? ?10??1?? 5．{
6．反自反的
7．{<1, 1>, <2, 2>}
8．{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >} 9．8
三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．） 1．解：错．
设A={1, 2}，B={1}，C={2}，则A∪B=A∪C，但B?C． 2．解：成立．
因为R1和R2是A上的自反关系，即IA?R1，IA?R2。 由逆关系定义和IA?R1，得IA? R1-1；
由IA?R1，IA?R2，得IA? R1∪R2，IA? R1?R2。
所以，R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的。 3．解：正确．
对于集合A的任意元素x，均有
按照最小元的定义，在集合A中不存在最 小元．
4．解：错误．
集合A的最大元不存在，a是极大元．
4 8．B