考点07 二次函数与幂函数
1、如果方程x＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m的取值范围是____． 【答案】(－∞，－3)
【解析】设f(x)＝x＋(2m－1)x＋4－2m，由题意得，
??Δ＝（2m－1）－4（4－2m）>0，? ?f（2）＝4＋2（2m－1）＋4－2m<0，?
2
2
2
53??m<－或m>，22 解得???m<－3，
所以m<－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．
?1?n
2、 若幂函数y＝mx(m，n∈R)的图象经过点?8，?，则n＝___．
?4?
2
【答案】－ 3
m＝1，??
【解析】由题意可得?n1
8＝，?4?
22
解得n＝－，故n的值为－. 33
3、已知f(x)＝ax＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a，b的值为____． 1
【答案】，0
3
【解析】由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax－bx＋3a＋b＝ax＋bx＋3a＋b，即2bx＝0对任意x恒成立，所11
以b＝0.又因为a－1＝－2a，解得a＝，所以a，b的值分别为，0.
334、函数y＝－x＋2|x|＋3的单调减区间是____．
2
2
2
2
【答案】[－1，0]和[1，＋∞) 【解析】令f(x)＝－x＋2|x|＋3，
?－x＋2x＋3，x≥0，?
所以f(x)＝?2
?－x－2x＋3， x<0，???－（x－1）＋4，x≥0，
即f(x)＝? 2
?－（x＋1）＋4， x<0，?
2
2
2
所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．
5、若函数f(x)＝x－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最大值为4，则a的值为____．
2
【答案】－1或1
【解析】由题意得，f(x)＝x－2x＋1＝(x－1)，对称轴为直线x＝1.当a≥0时，f(a＋2)＝4，即(a＋2)－2(a＋2)＋1＝4，解得a＝1或a＝－3(舍去)；
当a<0时，f(a)＝4，即a－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去)． 综上，a的值为1或－1.
6、 若不等式x＋2x＋a－a－2≥0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是___. 【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)
【解析】由题意得x＋2x＋a－a－2≥0，即(x＋1)≥－a＋a＋3，所以－a＋a＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，
所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
??1α
7、设α∈?－1，，1，2，3?，则使函数y＝x为奇函数且定义域为R的所有α的值为____．
2??
4
2
2
2
2
2
2
4
2
22
2
2
2
【答案】1，3
1
1
【解析】当α＝－1时，y＝x＝，此时函数的定义域为{x|x≠0}，不符合题意；当α＝时，y＝x2＝
x2
－1
1
x，此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意；当α＝1时，y＝x，此时函数的定义域为R，且是奇函
数，符合题意；当α＝2时，y＝x，此时函数的定义域为R，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y＝
2
x3，此时函数的定义域为R，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3.
8、求函数f(x)＝x－2ax＋2(x∈[2，4])的最小值． 6－4a， a<2，??2
【答案】f(x)min＝?2－a， 2≤a≤4，
??18－8a， a>4.
【解析】f(x)图象的对称轴是直线x＝a，可分以下三种情况： ①当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min＝f(2)＝6－4a； ②当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a；
③当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min＝f(4)＝18－8a. 6－4a， a<2，??2
综上所述，f(x)min＝?2－a， 2≤a≤4，
??18－8a， a>4.
9、已知函数f(x)＝x－2x＋2(x∈[t，t＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
2
2
2
t＋1， t<0，??
【答案】g(t)＝?1， 0≤t≤1，
??t2－2t＋2， t>1.【解析】由题意得，f(x)＝(x－1)＋1.
①当t＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t＋1)＝t＋1; ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1; ③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t－2t＋2. t＋1， t<0，??
综上所述，g(t)＝?1， 0≤t≤1，
??t2－2t＋2， t>1.
1??10、若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点?－2，?在幂函数g(x)的图象上，定义
4??
??f（x），f（x）≤g（x），
h(x)＝?试求函数h(x)的最大值以及单调区间．
?g（x）， f（x）>g（x）.?
2
2
2
2
2
【答案】1 单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞). 【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，
??x，x<－1或x>1，则有h(x)＝?2
?x， －1≤x≤1且x≠0.?
－2
根据图象可知函数h(x)的最大值为1，
单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).
?1?11、已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点?2，?.
?4?
(1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2) 求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x) 【答案】(1) g(x)＝x (2) ①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1 因为图象过点(2，2)，故2＝(2)，解得α＝2， 所以f(x)＝x. 2 α α－2 ?1?β 设g(x)＝x，因为图象过点?2，?， ?4? 1β－2 所以＝2，解得β＝－2，所以g(x)＝x. 4