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专题一 平面向量、三角函数与解三角形
[全国卷3年考情分析]
第一讲 小题考法——平面向量
考点(一) 向量的线性运算与有关定理 [典例感悟]
―→1
[典例] (1)(2018·福州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，DC＝
4―→―→―→―→―→―→
AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，则2r＋3s＝( )
A．1 C．3
B．2 D．4
主要考查平面向量的线性运算以及向量共线、平面向量基本定理的应用. (2)(2019届高三·开封模拟)已知平面向量a，b，c，a＝(－1,1)，b＝(2,3)，c＝(－2，
k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________.
―→―→―→―→2―→―→2―→[解析] (1)法一：根据图形，由题意可得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA331―1―→1―→?1――→―→→2―→―→→2?―→2―→―→
＋AD＋DC)＝AB＋(AD＋DC)＝AB＋?AD＋AB ?＝AB＋ AD.因为AE43333?3?2
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12―→―→
＝rAB＋sAD，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.
23
法二：如图所示，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点
B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m>0，h>0.
―→―→―→
由AE＝rAB＋sAD，得(4m,2h)＝r(4m,0)＋s(3m,3h)，
??4m＝4mr＋3ms，所以?
?2h＝3hs，?
1
r＝，??2解得?2
s＝??3，
所以2r＋3s＝1＋2＝3，选C.
(2)由题意，得a＋b＝(1,4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8. [答案] (1)C (2)－8
[方法技巧]
解决平面向量问题的常用3种方法
几何法 求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解 处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性 求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解．理基底法 论依据：适当选取一组基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e1，e2的代数运算问题 [演练冲关]
―→
1．(2018·合肥二模)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP―→―→―→―→
＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则( )
21A．x＝，y＝ 3313C．x＝，y＝ 44
12
B．x＝，y＝
3331
D．x＝，y＝
44
建系法 ―→―→―→―→―→2―→―→―→2―→
解析：选A 由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA＝BA，所以OP＝OB＋BA332―21―→2―→―→→1―→
＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.
33333
―→―→―→―→
2．(2018·西安高级中学三模)在△ABC中，AE＝2EB，AF＝3FC，连接BF，CE，
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―→―→―→
且BF∩CE＝M，AM＝xAE＋yAF，则x－y等于( )
1A．－ 121C．－ 6
B.1 12
1D. 6
―→―→―→2―→―→―→―→2―→―→
解析：选C 因为AE＝2EB，所以AE＝AB，所以AM＝xAE＋yAF＝xAB＋yAF.
332
由B，M，F三点共线得x＋y＝1.①
3
―→―→―→3―→―→―→―→―→3―→
因为AF＝3FC，所以AF＝AC，所以AM＝xAE＋yAF＝xAE＋yAC.由C，M，
44
E三点共线得x＋y＝1.②
1
x＝，??2
联立①②解得?2
y＝??3，34
121
所以x－y＝－＝－，故选C.
236
―→―→
3．已知A(－1,2)，B(a－1,3)，C(－2，a＋1)，D(2,2a＋1)，若向量AB与CD平行且同向，则实数a的值为________．
―→―→―→―→
解析：法一：由已知得AB＝(a,1)，CD＝(4，a)，因为AB与CD平行且同向，故可
??a＝4λ，―→―→
设AB＝λCD (λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a)，所以?
?1＝aλ，?
a＝2，??
解得?1
λ＝.?2?
故所求
实数a＝2.
―→―→―→―→2
法二：由已知得AB＝(a,1)，CD＝(4，a)，由AB∥CD，得a－4＝0，解得a＝±2.―→―→
又向量AB与CD同向，易知a＝－2不符合题意．故所求实数a＝2.
答案：2
考点(二) 平面向量的数量积及应用 主要考查数量积、夹角以及向量模的计算或用数量积解决最值范围问题. [典例感悟]
[典例] (1)(2018·南宁、柳州联考)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是( )
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