人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点总结

人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结

一、相关概念及定义

b,c是常数,a?0)的函数,1 二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a,c叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:

(1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.

b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. (2)a,二、二次函数各种形式之间的变换

21二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成:y?a?x?h??k的形式,其中

b4ac?b2h??,k?.

2a4a2 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y?ax2;②y?ax2?k;

③y?a?x?h?;④y?a?x?h??k;⑤y?ax2?bx?c. 三、二次函数解析式的表示方法

1 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0); 2 顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k为常数,a?0);

3 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 4 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

1 五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.

c?、以及?0,c?关于对称轴对称一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点?0,220?,?x2,0?(若与x轴没有交点,则取两组关于的点?2h,c?、与x轴的交点?x1,对称轴对称的点).

2 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

五、二次函数y?ax2的性质

a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 y轴 性质 x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y有最小a?0 ?0,0? ?0,0? a?0 向下 y轴 值0. x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y有最大值0. 六、二次函数y?ax2?c的性质

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,a?0 向上 ?0,c? y轴 y随x的增大而减小;x?0时,y有最小值c. x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,a?0 向下 ?0,c? y轴 y随x的增大而增大;x?0时,y有最大值c. 七、二次函数y?a?x?h?的性质:

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,a?0 向上 ?h,0? X=h y随x的增大而减小;x?h时,y有最小值0. x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,a?0 向下 ?h,0? X=h y随x的增大而增大;x?h时,y有最大值0. 八、二次函数y?a?x?h??k的性质

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,a?0 向上 ?h,k? X=h y随x的增大而减小;x?h时,y有最小值k. x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,a?0 向下 ?h,k? X=h y随x的增大而增大;x?h时,y有最大值k. 九、抛物线y?ax2?bx?c的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

1 a的符号决定抛物线的开口方向:当a?0时,开口向上;当a?0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形状相同.

2对称轴:平行于y轴(或重合)的直线记作x??b.特别地,y轴记作直线x?0. 2ab4ac?b2(?,)3顶点坐标:

2a4a4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 十、抛物线y?ax2?bx?c中,a,b,c与函数图像的关系 1 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.

⑴ 当a?0时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;

⑵ 当a?0时,抛物线开口向下,a越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.

总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的

大小决定开口的大小. 2一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在a?0的前提下,

b?0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 2ab当b?0时,??0,即抛物线的对称轴就是y轴;

2ab当b?0时,??0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.

2a⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即

b当b?0时,??0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;

2ab当b?0时,??0,即抛物线的对称轴就是y轴;

2ab当b?0时,??0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.

2a总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.

当b?0时,?总结: 3常数项c

⑴ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;

⑵ 当c?0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;

⑶ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.

总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置. 总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2b?4ac?b2?(?,)1公式法:y?ax?bx?c?a?x???,∴顶点是,

2a4a2a?4a?b对称轴是直线x??.

2a22配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线x?h.

3运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式

1一般式:y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.

222顶点式:y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

3交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y?a?x?x1??x?x2?.

十三、直线与抛物线的交点

1y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

2与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c).

3抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切; ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. 4平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标

相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

5 一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G?n?y?kx的交点,由方程组 ?的解的数目来确定:①方程组有两组不同的2y?ax?b?xc?解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点;③方程组无解时?l与G没有交点.

6抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1,0?,B?x2,0?,由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根,故

bcx1?x2??,x1?x2?aa24cb2?4ac??b?AB?x1?x2??x1?x2???x1?x2??4x1x2???????

aaaa??十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1关于x轴对称

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