考点23 等差数列与等比数列基本量的问题
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2019宿迁期末） 已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1－2an＝1，a1＝1，则S9的值为________． 【答案】 1013
【解析】由an＋1－2an＝1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，即
an＋1＋1
＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比an＋1
2（1－29）
的等比数列，设bn＝an＋1的前n项和为Tn，则T9＝＝1022，S9＝T9－9＝1013.
1－2
qqq
解后反思 一般地，数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，则有an＋1＋＝p?an＋p－1?，当a1＋
?p－1?p－1q??
≠0时，?an＋p－1?为等比数列．
?
?
2、(2019通州、海门、启东期末）设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________． 【答案】 62
【解析】 设公比为q，因为a1＝2，a3＝a2＋4，所以2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1，因为{an}为正项数2（1－25）
列，所以q＝2，所以S5＝＝62.
1－2
3、(2019扬州期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________． 【答案】 1
【解析】首先根据S3＝7，S6＝63可判断出等比数列{an}公比q≠1，由等比数列的前n项和公式得
??S
则＝1＋q＝9，解得q＝2，a＝1. ?a（1－q）S
??S＝1－q＝63，
6
3
1
6
3
1
6
a1（1－q3）S3＝＝7，
1－q
a61S6
4、(2019镇江期末） 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若＝－，则＝________．
a32S31
【答案】
2
a61S611
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝＝－.易得S6＝S3(1＋q3)，所以＝1＋q3＝1－＝.
a32S3225、(2019南京、盐城二模） 等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________． 【答案】 －4
【解析】由等差数列通项公式、求和公式得a4＝a1＋3d＝10，S12＝12a1＋66d＝90，解得a1＝13，d＝－1，故a18＝a1＋17d＝13－17＝－4.
1
6、(2017苏州暑假测试） 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2 015＝
2________. 【答案】
1
2 015
1121?1?
【解析】由an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)得＋＝(n≥2)，又a1＝1，a2＝，所以数列?a?是以1
2?n?an＋1an－1an111
为首项，1为公差的等差数列．所以＝n，即an＝，所以a2 015＝.
ann2 015
Snn＋1a3
7、(2017镇江期末） Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
S2n4n＋2a53
【答案】.
5
n?a1＋an?
2a1＋ann＋1Snn＋12a12
【解析】解法1 由＝可得，＝＝，当n＝1时，＝，所以a2＝2a1.
S2n4n＋22n?a1＋a2n?a1＋a2n2n＋1a1＋a23
2
a3a1＋2d3a13
d＝a2－a1＝a1，所以＝＝＝.
a5a1＋4d5a15n2＋nSnn＋1
解法2 ＝＝，
S2n4n＋24n2＋2n
a32×33
观察发现可令Sn＝n2＋n，则an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，所以＝＝.
a52×558、(2017南京三模）若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为 ． 【答案】．8
【解析】 因为a3－a1＝2，所以a1q?1?2，即a1??2?2?0 ?q?1? 2q?12q422所以a5?a1q?2，设t?q?1?0，即q?t?1，
q?14??2?t?1?1?1?a??2t??2?22tg?2?8，当且仅当t?1，即q?2时取到等号. 所以5??????tt?t???29、(2018南京学情调研）记等差数列{an}的前n项和为Sn.若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________． 【答案】. 6 【解析】由S2m－1＝?＝6.
10、(2018苏州暑假测试） 等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________． 【答案】7
【解析】解法1(特殊值法) 在式子“an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”中分别令n＝2，3得，a1＝13，a2＝11.又因为{an}是等差数列，所以公差d＝－2，an＝13＋(n－1)×(－2)＝15－2n≥0，解得n≤7.5，故前7项和最大，所以k＝7.
n（n－1）?
解法2(公式法) 在等差数列{an}中，设公差为d，因为式子“an－Sn＝a1＋(n－1)d－?a1n＋d＝
2??d
n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次项系数为1，所以－＝1，即公差d＝－2，令n＝2得，a1＝13，所以前
2n（n－1）
n项和Sn＝13n＋×(－2)＝14n－n2＝49－(n－7)2，故前7项和最大，所以k＝7.
2
【问题探究，开拓思维】
题型一、等差数列与等比数列的基本量问题
知识点拨：一是基本量法，即转化为a1，d(q)，n，an，Sn的方程组，解方程组即可；
a2＋a4
例1、(2019苏州期初调查）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2，S6，S4成等差数列，则的值
a6为________． 【答案】2
【解析】设公比为q，因为S2，S6，S4成等差数列，所以2S6＝S2＋S4，若q＝1，则有12a1＝2a1＋4a1，所a1（1－q6）a1（1－q2）a1（1－q4）
以a1＝0，不成立，则q≠1，所以2·＝＋，则有2q6＝q2＋q4，所以2q4
1－q1－q1－q－q2－1＝0，q2＝1，则
a2＋a4a2＋a2q21＋q2
q＝－1，所以＝＝4＝2.
a6a2q4q
a1＋a2m－1?
2??·(2m－1)＝[a1＋(m－1)d](2m－1)＝(2m－1)am得，110＝10(2m－1)，解得m
易错警示 运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会产生漏解或增解． a5＋a3
【变式1】(2019泰州期末） 已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则＝________．
a3＋a1【答案】4