第七章 线性变换
3．在P[x]中，Af(x)?f?(x)，Bf(x)?xf(x)，证明：
AB?BA=?E．
『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取f(x)?P[x]，则有
=(AB?BA)f(x)?ABf(x)?BAf(x)?A(xf(x))?B(f?(x))
?(xf(x))??xf?(x)?f(x)?Ef(x)，
于是AB?BA=?E．
4．设A,B是线性变换，如果AB?BA=?E，证明：
AkB?BA 『解题提示』利用数学归纳法进行证明．
k?kAk?1,k?1．
证明 当k?2时，由于AB?BA=?E，可得
A2B?BA2?A(AB?BA)?(AB?BA)A?2A，
因此结论成立．
假设当k?s时结论成立，即AB?BAss?sAs?1．那么，当k?s?1时，有
As?1B?BAs?1?A(AsB?BAs)?(AB?BA)As?sAs?As?(s?1)As，
即对k?s?1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k?1结论都成立． 『特别提醒』由A0?E可知，结论对k?1也成立．
5．证明：可逆映射是双射．
『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．
证明 设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的?,??V，如果A??A?，那么，用A作用左右两边，得到??A?1?1(A?)?A?1(A?)??，因此A是单射；另外，对于任意的??V，存在
??A?1??V，使得A??A(A?1?)??，即A是满射．于是A是双射．
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『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设?1,?2,,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当
A?1,A?2,,A?n线性无关．
?knA?n?0，即
证法1 若A是可逆的线性变换，设k1A?1?k2A?2?A(k1?1?k2?2?而根据上一题结论可知A是单射，故必有k1?1?k2?2?因此k1?k2??kn?n)?0．
?kn?n?0，又由于?1,?2,,?n是线性无关的，
?kn?0．从而A?1,A?2,,A?n线性无关．
,A?n也是V的一组基．于是，根据
反之，若A?1,A?2,,A?n是线性无关的，那么A?1,A?2,教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A?i)??i，i?1,2,,n．显然 ,n．
BA(?i)??i，AB(A?i)?A?i，i?1,2,再根据教材中的定理1知，AB?BA?E．所以A是可逆的．
证法2 设A在基?1,?2,,?n下的矩阵为A，即 ,?n)?(A?1,A?2,,A?n)?(?1,?2,,?n)A．
A(?1,?2,由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆．
因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A?1,A?2,关的．反之，如果A?1,A?2,,A?n也是V的一组基，即是线性无
,A?n是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基?1,?2,,?n到
A?1,A?2,,A?n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换．
『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆．
9．设三维线性空间V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为
?a11?A??a21?a?31 1）求A在基?3,?2,?1下的矩阵；
a12a22a32a13??a23?． a33??- 2 -
2）求A在基?1,k?2,?3下的矩阵，其中k?P且k?0； 3）求A在基?1??2,?2,?3下的矩阵．
『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．
解 1）由于
A?3?a13?1?a23?2?a33?3?a33?3?a23?2?a13?1， A?2?a12?1?a22?2?a32?3?a32?3?a22?2?a12?1， A?1?a11?1?a21?2?a31?3?a31?3?a21?2?a11?1．
故A在基?3,?2,?1下的矩阵为
?a33?B1??a23?a?132）由于
a32a22a12a31??a21?． a11??1A?1?a11?1?a21?2?a31?3?a11?1?a21k?2?a31?3，
kAk?2?ka12?1?ka22?2?ka32?3?ka12?1?a22k?2?ka32?3，
1A?3?a13?1?a23?2?a33?3?a13?1?a23k?2?a33?3．
k故A在基?1,k?2,?3下的矩阵为
?a11?1B2??a21?k?a?31ka12a22ka32a13??1a23?． k?a33??3）由于从?1,?2,?3到?1??2,?2,?3的过渡矩阵为
?100???X??110?，
?001???故A在基?1??2,?2,?3下的矩阵为
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