习题1
1.
图论诞生于七桥问题。出生于瑞士得伟大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题就是这样描述北区 得：一个人就是否能在一次步行中穿越哥尼斯
东区 堡（现在叫加里宁格勒，在波罗得海南岸）城岛区 中全部得七座桥后回到起点，且每座桥只经过
南区 一次，图1、7就是这条河以及河上得两个岛与
图1、7 七桥问题
七座桥得草图。请将该问题得数据模型抽象出来，并判断此问题就是否有解。
七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同得点 1， 一次步行
2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点
该问题无解：能一笔画得图形只有两类：一类就是所有得点都就是偶点。另一类就是只有二个奇点得图形。
2．在欧几里德提出得欧几里德算法中（即最初得欧几里德算法）用得不就是除法而就是减法。请用伪代码描述这个版本得欧几里德算法 1、r=m-n
2、循环直到r=0 2、1 m=n 2、2 n=r 2、3 r=m-n 3 输出m
3．设计算法求数组中相差最小得两个元素（称为最接近数）得差。要求分别给出伪代码与C++描述。
//采用分治法
//对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻得差 #include
int partions(int b[],int low,int high) {
int prvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while (low while (low b[low]=b[high]; while (low b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; return low; } void qsort(int l[],int low,int high) { int prvotloc; if(low prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序得结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1到 high } } void quicksort(int l[],int n) { qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个 } int main() { int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; int value=0;//将最小差得值赋值给value for (int b=1;b<11;b++) cout< quicksort(a,11); for(int i=0;i!=9;++i) { if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) ) value=a[i+1]-a[i]; else value=a[i+2]-a[i+1]; } cout< 4． 设数组a[n]中得元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不就是最大也不就是最小得元素，并说明最坏情况下得比较次数。要求分别给出伪代码与C++描述。 #include int mid_value=0;//将“既不就是最大也不就是最小得元素”得值赋值给它 for(int i=0;i!=4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1] 5、 编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成得整数能被2013整除。 #include double value=0; for(int n=1;n<=10000 ;++n) { value=value*10+1; if(value 13==0) { cout<<\至少为:\ break; } }//for return 0; } 6、 计算π值得问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求得π值 #include double a,b; double arctan(double x);//声明 a = 16、0*arctan(1/5、0); b = 4、0*arctan(1/239); cout << \ return 0； } double arctan(double x) { int i=0; double r=0,e,f,sqr;//定义四个变量初 sqr = x*x; e = x; while (e/i>1e-15)//定义精度范围 { f = e/i;//f就是每次r需要叠加得方程 r = (i%4==1)?r+f:r-f; e = e*sqr;//e每次乘于x得平方 i+=2;//i每次加2 }//while return r; } 7、 圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么就是6天呢？任何一个自然数得因数中都有1与它本身，所有小于它本身得因数称为这个数得真因数，如果一个自然数得真因数之与等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6就是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造就是完美得。设计算法，判断给定得自然数就是否就是完美数 #include int value, k=1; cin>>value; for (int i = 2;i!=value;++i) { while (value % i == 0 ) { k+=i;//k为该自然数所有因子之与 value = value/ i; } }//for if(k==value) cout<<\该自然数就是完美数\ else cout<<\该自然数不就是完美数\ return 0; } 8、 有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。她们都在桥得某一端， 并且就是在晚上，过桥需要一只手电筒，而她们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路得速度就是不同得：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路得速度等于其中较慢那个人得速度，问题就是她们全部过桥最少要用多长时间？ 由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电得工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如： 第一趟：甲，乙过桥且甲回来 第二趟：甲，丙过桥且甲回来 第一趟：甲，丁过桥 一共用时19小时 9．欧几里德游戏：开始得时候，白板上有两个不相等得正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上得数字得差，而且这个数字必须就是新得，也就就是说，与白板上得任何一个已有得数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，她就输了。请问，您就是选择先行动还就是后行动？为什么？ 设最初两个数较大得为a, 较小得为b，两个数得最大公约数为factor。 则最终能出现得数包括: factor, factor*2, factor*3, 、、、, factor*(a/factor)=a、 一共a/factor个。 如果a/factor 就是奇数，就选择先行动；否则就后行动。 习题2 1．如果T1(n)=O(f (n))，T2(n)=O(g(n))，解答下列问题： （1）证明加法定理：T1(n)＋T2(n)=max{O(f (n)), O(g(n))}； （2）证明乘法定理：T1(n)×T2(n)=O(f (n))×O(g(n))； （3）举例说明在什么情况下应用加法定理与乘法定理。 ,（1） （2） （3）比如在 for（f(n)） { for(g(n)) } 中应该用乘法定理 如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理 2．考虑下面得算法，回答下列问题：算法完成什么功能？算法得基本语句就是什么？基本语句执行了多少次？算法得时间复杂性就是多少？ 1）int Stery(int n) 得平方与 （2）int Q(int n) （1（） 完成得就是 1-n{ { 基本语句：s+=i*i，执行了n次 int S = 0; if (n == 1) 时间复杂度O（n） return 1; （2） for (int i = 1; i <= n; i++) （2）完成得就是n得平方 基本语句： S = S + i * i; else return Q(n-1) + 2 * n – 1，执行了n次 return S; return Q(n-1) + 2 * n - 1; 时间复杂度O（n） } 3、 } 分析以下程序段中基本语句得执行次数就是多少，要求列出计算公式。 （1）for (i = 1; i <= n; i++) if (2*i <= n) for (j = 2*i; j <= n; j++) y = y + i * j； （2）m = 0; for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= 2*i; j++) m=m+1;