龙文教育学科教师辅导讲义
课 题 介绍一些些能加快速度的计算公式 二次函数知识点总汇 教学目标 教学内容 b?4ac?b2?23求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y?ax?bx?c?a?x???2a4a??对称轴是直线x2b4ac?b2（?，），∴顶点是，2a4a??b. 2a （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h. 2 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用 y?ax2中的a完全一样. y?ax2?bx?c的对称轴是直线 （1）a决定开口方向及开口大小，这与 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线bbb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③?0（即a、b异aa2a号）时，对称轴在y轴右侧. x?? （3）c的大小决定抛物线 当x ①cy?ax2?bx?c与y轴交点的位置. ： ?0时，y?c，∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：y轴右侧，则 b?0. ay?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：12.直线与抛物线的交点 （1）y?a?x?x1??x?x2?. y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c). y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c). （2）与 （3）抛物线与x轴的交点 二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ??0?抛物线与x轴相交； ②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. ①有两个交点? （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根. （5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组 y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点. （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等y （2）点P(x,y)到y轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于x2?y2 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数S=PM?PN=k(k?0)图像上任一点P作xky?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。 xy?x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积考点三、二次函数的最值 4ac?b2b如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??时，y最值?4a2a如果自变量的取值范围是。 x1?x?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若在此范围内，则当2a?x?x2范围内的 4ac?b2bx=?时，y最值?4a2a3、直线斜率：；若不在此范围内，则需要考虑函数在x12、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） y?y1k?tan??2x2?x1 b为直线在y轴上的截距 4、直线方程： 一般两点斜截距 1，一般 一般 直线方程 ax+by+c=0 2，两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: y?y1y2?y1?(x?x1)x2?x1y?y1?k(x?x1) --最最常用，记牢 3，点斜 知道一点与斜率 4，斜截 斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0) 5 ，截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距 式方程，简称截距式：xy??1 ab 记牢可大幅提高运算速度 5、设两条直线分别为，l1：y?k1x?b1 若l1l2：y?k2x?b2 //l2，则有l1//l2?k1?k2且b1?b2。 l1?l2?k1?k2??1 若6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d?对于点P（x0，y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有 kx0?y0?bk?(?1)22?kx0?y0?bk?12 d?ax0?by0?ca2?b2 常用记牢 2、 如图，已知二次函数y?ax2?4x?c的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点 B（0，-5）． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2??0?a?(?1)?4?(?1)?c,解：（1）根据题意，得?…2分 2???5?a?0?4?0?c.解得 ??a?1, …………………………3分 ?c??5.2∴二次函数的表达式为y?x?4x?5．……4分 2（2）令y=0，得二次函数y?x?4x?5的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分 由于P是对称轴x?2上一点， 22连结AB，由于AB?OA?OB?26， 要使△ABP的周长最小，只要PA?PB最小.…………………………………6分 由于点A与点C关于对称轴x?2对称，连结BC交对称轴于点P，则PA?PB= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PA?PB的最小值为BC. 因而BC与对称轴x?2的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为y?kx?b，根据题意，可得??b??5,?k?1,解得? ?b??5.?0?5k?b.