高考二轮小专题 ：圆锥曲线题型归纳
1基础知识：
1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；
3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a、b、c、e、p、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法：
1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；
2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；
3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的
根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；
4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率
公式一个共五个等式；
5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、
坐标问题；
3基本思想：
1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；
4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点
⑴ 用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题．
⑵ 解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位
本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题．
本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右．
⑴ 圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活．
⑵ 直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题．
⑶ 求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点．
⑷ 圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势．
⑸ 数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答题中对参数问题的讨论；等价转化思想：在解题中常化曲为直．
6实例探究
一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题
x2y2例1．已知椭圆2?2?1(aabb110).过点（2，—1）且方向向量为a?(,?)的直线L交椭圆与A、B两点。
22⑴若线段AB的中点为M，求直线OM的斜率（用a、b表示）； ⑵若椭圆的离心率为3，焦距为2，求线段AB的长； 3⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为F1，求?ABF1的面积。
点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 二、“是否存在”问题
例2．已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线y?2px（p>0）于B、C两点，且线段BC长为210。
（I）求抛物线的方程；
（II）在（I）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。
（答：y?2x。存在点D（2，2）或（8，-4）） 三、过定点、定值问题
22x2y2例3.已知椭圆C：2?2?1（a>b>0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。
ab(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点Q（—1，0）的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = —4于点E，设AQ??QB，AE??EB。求证：???为定值，并计算出该定值。
点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准
线距离的转化。
例4．过抛物线y?4ax（a>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果?AOB（O为原点）
2S23的面积是S，求证：为定值。（答：a）
AB点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 四．最值问题
例5．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(?3,0),右顶点为D(2,0),设点
?1?A?1,?. ?2?（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； （3）过原点O的直线交椭圆于点B,C，求?ABC面积的最大值。
解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上,
x2∴椭圆的标准方程为?y2?1
4(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
x0?1?x???x0?2x?12?(2x?1)212?由? 点P在椭圆上，得?(2y?)?1, 1 得?142y?y?2y?0?0?22?y??2?∴线段PA中点M的轨迹方程是(x?)2?4(y?)2?1. (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
1214x2当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入?y2?1,
4解得B(
24k?12,
2k4k?12),C(－
24k?12,－
2k4k?12),
则BC?41?k21?4k2k?,又点A到直线BC的距离d=
1221?k,
2k?114k2?4k?14k∴△ABC的面积S△ABC=AB?d? 于是S△ABC= ?1?22224k?14k?11?4k由
4k12≥－1,得S,其中,当k=－时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是2. △ABC≤224k?1例6．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于1． （I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求
AD?EB的最小值．
答：动点P的轨迹C的方程为,y2?4x(x?0)和y=0(x?0).
AD?EB取最小值16．
点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用
切线的方法、利用均值不等式的方法等。
7、规范解题