学 习 资 料 汇编
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．以下选项中，不一定是单位向量的有( )
①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(lg 2，lg 5)；③c＝(22)；④d＝(1－x，x)． A．1个 C．3个
解析：因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝|d|＝答案：B
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，设下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b
解析：因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，
所以|a|＝2，|b|＝2，故|a|≠|b|，A错误；
1
B．a·b＝
2D．a∥b
－x
2
2
x,－xB．2个 D．4个
x2
＋
－x
2 ≥2≠1，
2＋x＝2x－2x＋1＝ x－
12
12
2＋≥.故选B. 22
a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；
因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确． 因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误． 答案：C
3．(2014年高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) 9A．－
2C．3
B．0 D.15 2
解析：因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)． 因为(2a－3b)⊥c，
所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3. 答案：C
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4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( ) πA．－
4πC. 4
解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)．
B.D.π 63π 4
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，
|2a＋b|＝32，|a－b|＝3，
92π
设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，所以α＝. 432×32答案：C
5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别 为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
→→→→
解析：AC＝(－1，－3)，AB＝(3，－1)．∵AC·AB＝－3＋3＝0，∴AC⊥A →→
又∵|AC|＝10，|AB|＝10，∴AC＝AB.∴△ABC为等腰直角三角形． 答案：C
6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( ) A.5 C．25
B.10 D．10
B.
解析：由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2， |a＋b|＝ 答案：B
7．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cos θ＝________. 解析：设b＝(x，y)，则由a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)可得(3x＋2,3y＋1)＝(5,4)，即
??3x＋2＝5，?
?3y＋1＝4?
＋
2
＋－
2
＝10.
2
??x＝1，
??
?y＝1，?
2
所以b＝(1,1)，故a·b＝2×1＋1×1＝3且|a|＝2＋1＝
22
5，|b|＝1＋1＝2，所以cos θ＝310
答案： 10
a·b3310
＝＝. |a||b|1010
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→→→→
8．已知OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使AP·BP有最小值，则
P点的坐标为________．
→→2
解析：设P(x,0)，所以AP·BP＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x－6x＋→→2
10＝(x－3)＋1，当x＝3时，AP·BP有最小值，此时P(3,0)． 答案：(3,0)
9．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．
解析：设c＝(x，y)，则a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.① 由b·c＝－9，得b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9.②
??2x＋y＝4，
联立①②得?
?x－3y＝9，?
??x＝3，
解得?
?y＝－2.?
∴c的坐标为(3，－2)．
10．在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求： →→
(1)AB，AC的坐标； →→
(2)|AB－AC|的值； (3)cos ∠BAC的值．
→→
解析：(1)AB＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)． →→→→
(2)因为AB－AC＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB－AC|＝25.
→→→→
(3)因为AB·AC＝(－1,1)·(1,5)＝4，|AB|＝2，|AC|＝26， →→AB·AC4213
cos ∠BAC＝＝＝. →→132×26|AB||AC|
[B组 能力提升]
π
1．(2014年高考山东卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则6实数m＝( ) A．23 C．0
B.3 D．－3
－
2
＋－
2
＝
π3222
解析：a·b＝|a||b|cos ，则3＋3m＝2·9＋m·.(3＋m)＝9＋m，解得m＝3.
62答案：B
→→
2．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
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