平行四边形
一、知识梳理
1．平行四边形：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．
2．平行四边形的性质：
(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分．
(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．
ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段， 例1．
ABCD的周长为 ． 则
例2．在
（1）则∠EDF= ；
F（2）如图，若AE=4，CF=7，
AEBABCD周长= ; 则
例3.在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，则∠B＝ ，∠C＝ ，∠D＝ .
例4..中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB＝____________，BC＝____________．
变式训练.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？
ABCD中，∠C=60o,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．
DC 例5.如图，在□ABCD中，O是对角线的交点，过O的直线交AB于E，交DC于F，图中全等三角形共有 （ ） A．2对 B．3对 C．6对 D．8对
AD
E
O3．两条平行线间的距离：
F(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，
BC叫做这两条平行线间的距离．
(2)两平行线间的距离处处相等．
例6、有以下四个说法：
①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长． ②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值．
③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值． ④两条平行线间的距离不是定值 其中正确说法的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4
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．
4．平行四边形的面积：
(1)如图①，
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图②，有公共边BC，则
．
例7、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10，AD=8，AC ? BC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积
变式训练：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．
2、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。
5．平行四边形的判别方法：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形．
例8 如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．
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变式训练：平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形
例9如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由.
变式训练：如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．
★3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 例10如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=形.
变式训练：如图，AD=BC，∠DAC=∠BCA，试判断四边形ABCD是平行四边形吗？请说说你的理由. (7分)
11AB，CF=CD，试证明AECF为平行四边22
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B C D A
★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形
例11(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形DFBE为平行四边形.
变式训练：在四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求证四边形ABCD为平行四边形。
★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形
例12如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
变式训练：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，若OE=OF， 求证：四边形BFDE是平行四边形
A
6.三角形中位线：
定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。
例13．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．
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DEOFBC