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一元二次不等式的解法及线性规划
【知识梳理】
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax＋bx＋c＞0(a＞0)或
2
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表：
判别式 Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax＋222 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 有两相异实根 有两相等实根 bx＋c＝0 (a＞0)的根 x1，x2(x1＜x2) bx1＝x2＝－ 2a?b??x|x≠－? 2a??没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 一个技巧 {x|x1＜x＜x2} ? ? 一元二次不等式ax＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2
2
2
22
＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，
x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．
两个防范
(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；
(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
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【课堂自测】1．(人教A版教材习题改编)不等式x2
－3x＋2＜0的解集为( )． A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1,2)
解析 ∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2. 故原不等式的解集为(1,2)． 答案 D
2．(2011·广东)不等式2x2
－x－1＞0的解集是( )．
A.???－12，1???
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.??1?
－∞，－?2??∪(1，＋∞)
解析 ∵2x2
－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， ∴x＞1或x＜－1
2
.
故原不等式的解集为???－∞，－12???∪(1，＋∞)． 答案 D
3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )．
A.
??1?x|x≠－?
3?? B.??1?－?
3??
C.???
x|－11?
3≤x≤3??
D．R
解析 ∵9x2
＋6x＋1＝(3x＋1)2
≥0，
∴9x2
＋6x＋1≤0的解集为
???
x|x＝－1?3??. 答案 B
4．(2012·许昌模拟)若不等式ax2
＋bx－2＜0的解集为??1??
x|－2＜x＜4??，则ab＝
A．－28 B．－26 C．28 D．26
－2
1?a＝?－2?×11
4＝－2
，解析 ∵x＝－2，是方程ax2
＋bx－2＝0?
4
的两根，∴
???－b＝－7a4，
∴a＝4，b＝7.∴ab＝28. 答案 C
5．不等式ax2
＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．．( )
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解析 当a＝0时，不等式为1≥0恒成立； 当a≠0时，须?
??a＞0，
??Δ≤0，
即?
??a＞0，
2
??4a－4a≤0.
∴0＜a≤1，综上0≤a≤1. 答案 [0,1]
考点一 一元二次不等式的解法
??x＋2x，x≥0，
【例1】?已知函数f(x)＝?2
?－x＋2x，x＜0，?
2
解不等式f(x)＞3.
[审题视点] 对x分x≥0、x＜0进行讨论从而把f(x)＞3变成两个不等式组．
??x≥0，
解 由题意知?2
??x＋2x＞3
??x＜0，
或?2
??－x＋2x＞3，
解得：x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}．
解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；
(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．
【训练1】 函数f(x)＝2x＋x－3＋log3(3＋2x－x)的定义域为________．
?2x＋x－3≥0，?
解析 依题意知?2
??3＋2x－x＞0，
2
2
2
3??x≤－或x≥1，2解得???－1＜x＜3.∴1≤x＜3.
2
故函数f(x)的定义域为[1,3)． 答案 [1,3)
考点二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】?求不等式12x－ax＞a(a∈R)的解集．
[审题视点] 先求方程12x－ax＝a的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 解 ∵12x－ax＞a，∴12x－ax－a＞0，
2
2
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2
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