雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告
一、实验题目
分别利用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组：
?10x1?x2?2x3?7.2???x1?10x2?2x3?8.3??x?x?5x?4.223?1使得误差不超过 0.00001。
二、实验引言
1.实验目的
①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤，熟悉计算机fortran语言； ②了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺点。 2.实验意义
雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，求解方便实用。
三、算法设计
1.雅可比迭代法原理：
设有线性方程组Ax=b 满足aii?0, 将方程组变形为: x=Bx+f, 则雅可比(Jacobi)迭代法是指X(k?1)?Bxk?f，即 由初始解逐步迭代即可得到方程组的解。 算法步骤如下：
(0)(0),?,xn步骤1.给定初始值x1(0),x2，精度e,最大容许迭代次数M，令k=1。
步骤2.对i=1,2,…,n依次计算
x1?(bj??aijxj)/aii(aii?0,i?1,2,?，n)j?1j?inei?|xi(1)?xi(0)|xi(1)?xi(0)
步骤3.求出e?max{ei}，若e??，则输出结果xi(0)(i?1,2,?,n)，停止计算。
1?i?n否则执行步骤4.
步骤4.若k?M,k?1?k,转步骤2继续迭代。若k?M,表明迭代失败，停止计算。
2.算法流程图
四、程序设计
program jacobi implicit none integer::i,j integer::k save k
real,parameter::e=0.001 integer,parameter::n=3 real::x(n),y(n),b(n) data b/7.2,8.3,4.2/ real::D real::a(n,n)
open (unit=10,file='1.txt')
data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/
write(10,*)\矩阵A的形式为**********\write(10,\
forall(i=1:n) x(i)=0 end forall k=0
100 D=0 do i=1,n y(i)=b(i) do j=1,n if(i/=j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j) end do y(i)=y(i)/a(i,i) end do do j=1,n D=abs(x(j)-y(j)) end do
forall(i=1:n) x(i)=y(i) end forall if(D>=e) then k=k+1 write(10,*)\迭代次数为：\ goto 100 else goto 200 end if
200 write(10,*)\ write(10,*)\用jacobi方法解得的结果X[t]为：\ write(10,\ stop end program
五、结果及讨论
1.实验结果
**********矩阵A的形式为********** 10.00 -1.00 -1.00
-1.00 10.00 -1.00
-2.00 -2.00 5.00
迭代次数为： 1 迭代次数为： 2 迭代次数为： 3 迭代次数为： 4 迭代次数为： 5 迭代次数为： 6 迭代次数为： 7
**************************************** 用jacobi方法解得的结果X[t]为： 1.10 1.20 1.30
2.讨论分析 （1）误差
从上述输出结果中可以看出，当迭代次数k增大时，迭代值x1,y1,z1 会越来越逼近方程组的精确解x=1.0,y=1.2,z=1.3。 （2）收敛性
在本题目中, 用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法分别求解该线性方程组，得到的近似根是收敛的
六、算法评价
优点：迭代法算法简单，编制程序比较容易。
缺点：迭代法要求方程组的系数矩阵有某种特殊性质（譬如是所谓对角占优阵）以保证过程的收敛性。高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的。在雅可比迭代法求解线性方程组时，只要误差截断设计的合理，原则上可以得到很正确的解。而通常我们选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制。由于它的准确性，故在
实际应用中比较常见，对于解一般线性方程组非常有效准确。通过该算法以及编程对求解的过程，我们不难发现，雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。
附：
高斯—赛德尔程序
program G-S implicit none integer::i,j integer::k save k
real,parameter::e=0.001 integer,parameter::n=3 real::x(n),y(n),b(n) data b/7.2,8.3,4.2/ real::D real::a(n,n)
open (unit=10,file='1.txt')
data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/
write(10,*)\矩阵A的形式为**********\write(10,\
forall(i=1:n) x(i)=0 end forall k=0
100 D=0 do i=1,n y(i)=b(i) do j=1,n if(i