概率论与数理统计第二章习题及答案

概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布

习题2-1 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出X随机变量的分布律.

解:X可以取值3,4,5,分布律为

21?C23C5P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?

?11021?C33C5P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310?610

P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?也可列为下表 X: 3, 4,5 P:

21?C43C5136 ,,101010习题2-2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为

1?p(0?p?1).

(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律.(此时称X服从以p为参数的几何分布.)

(2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律.(此时称

Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布.)

(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.

解:(1)P (X=k)=qk1p

-k=1,2,??

(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n-1次有n次失败,且最后一次成功}

P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr, (3)P (X=k) = (0.55)k-10.45

??n?0,1,2,?,其中 q=1-p,

r?1rk?r,k?r,r?1,? 或记r+n=k,则 P{Y=k}=Ck?1p(1?p) k=1,2…

2k?1P (X取偶数)=

?P(X?2k)??(0.55)k?1k?10.45?11 31习题2-3 一房间有同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各窗子是随机的。(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律。(2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以

1

Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y的分布律。

解:(1)X的可能取值为1,2,3,?,n,?

P {X=n}=P {前n-1次飞向了另2扇窗子,第n次飞了出去}

21 =()n?1?, n=1,2,??

33(2)Y的可能取值为1,2,3

1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去}

P {Y=1}=P {第1次飞了出去}= =

211?? 323 P {Y=3}=P {第1,2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去}

2!1? 3!3 =

习题2-4 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.

习题2-5 甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.今各投3次. 求(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.

记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立,且彼此投篮也独立。

P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)

= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)

11?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] = (0.4)3× (0.3)3+ [C322?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?[C3 ?(0.7)3?0.321

2

(2)甲比乙投中次数多的概率。

P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

12=[C3?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8?

22123 [C3?(0.6)?0.4]?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6)

1?(0.3)3?(0.6)3?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3

?[C3?(0.7)?0.3]?0.243

习题2-6 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯,能将甲

种酒全部挑出来,算是试验成功一次.

(1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少?

(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次,成功3次.试推断他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的).

解:(1)P (一次成功)=

2211 ?470C83(2)P (连续试验10次,成功3次)= C10(136973。此概率太小,按实际)()?707010000推断原理,就认为他确有区分能力。

习题2-7 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布,求:(1)某

一分钟恰有8次呼唤的概率;(2)某一分钟的呼唤次数大于3的次数。

(1)每分钟恰有8次呼唤的概率 法一: 法二:

48?4P(X?8)?e?0.029770(直接计算)

8!P ( X= 8 )= P (X ≥8)-P (X ≥9)(查λ= 4泊松分布表)。

= 0.051134-0.021363=0.029771 (2)每分钟的呼唤次数大于10的概率。

P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840(查表计算)

习题2-8 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达等待的时间(以分

?1?e?0.4x,x?0,至多3分钟?;计),X的分布函数是FX(x)??求下述概率:(1)P?(2)

x?0.?0,P?至少4分钟?;

(3)P3分钟至4分钟之间;(4)P至多3分钟或至少4分钟;(5)P恰好2.5分钟。

?????? 3

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