(完整word版)相似三角形 基本知识点+经典例题(完美打印版)

知识点9:全等与相似的比较:

三角形全等 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 三角形相似 相似判定的预备定理 两角对应相等 两边对应成比例,且夹角相等 三边对应成比例 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例

知识点10 相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.

(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比.

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.

知识点11 相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法

1、证明四条线段成比例的常用方法: (1)线段成比例的定义

(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系

2、证明题常用方法归纳:

(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”

(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不

同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的, 则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这

几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样

的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.

即:找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。

amcmmamcm?,?(为中间比)②?,?',n?n'

bndnbndnnamcm'mm'''③?,?'(m?m,n?n或?') bndnnn (4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成

比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.

注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。

(5)比例问题:常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。 (6).对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形(或基本图形)“分离”出来的办法处理。

知识点12 相似多边形的性质

(1)相似多边形周长比,对应对角线的比都等于相似比.

(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比. (3)相似多边形面积比等于相似比的平方.

注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键.

知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法

1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形.

2. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比. 注:

(1) 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点. (2) 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形. (3) 位似图形的对应边互相平行或共线.

3.位似图形的性质: 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注:位似图形具有相似图形的所有性质.

4. 画位似图形的一般步骤:

(1) 确定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)

(2) 分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取). (3) 根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.

(4) 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤ 注:①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外, 或在图形上(图形边上或顶点上)。

②外位似:位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”(即同向位似图形) ③内位似:位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”(即反向位似图形)

(5) 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为k(k>0),原图形上点的坐标为(x,y),那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

经典例题透析

类型一、相似三角形的概念

1.判断对错:

(1)两个直角三角形一定相似吗?为什么? (2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么? (3)两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么? (4)两个等边三角形一定相似吗?为什么? (5)两个全等三角形一定相似吗?为什么?

思路点拨:要说明两个三角形相似,要同时满足对应角相等,对应边成比例.要说明不相似,则只要否定其中的一个条件.

解:(1)不一定相似.反例

直角三角形只确定一个直角,其他的两对角可能相等,也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有两边相等,而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中

设AB=a, A′B′=b,则 BC=a,B′C′=b,AC=a,A′C′=b

∴ ∴

ABC∽

A′B′C′

(4)一定相似.

因为等边三角形各边都相等,各角都等于60度,所以两个等边三角形对应角相等,对应边成比例,因此两个等边三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形对应角相等,对应边相等,所以对应边比为1,所以全等三角形一定相似,且相似比为1.

举一反三

【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗?

解析:全等.因为这两个三角形相似,所以对应角相等.又相似比为1,所以对应边相等. 因此这两个三角形全等.

总结升华:由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不一定相似. (1)两个直角三角形,两个等腰三角形不一定相似. (2)两个等腰直角三角形,两个等边三角形一定相似.

(3)两个全等三角形一定相似,且相似比为1;相似比为1的两个相似三角形全等.

【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )

A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

解析:根据相似三角形的概念,判定三角形是否相似,一定要满足三个角对应相等,三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等,其他的角是否对应相等不可知;B中什么条件都不满足;D中只有一条对应边的比相等;C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形,且对应边的比也相等.答案选C.

类型二、相似三角形的判定

2.如图所示,已知

中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于F,请找出图中各

对相似三角形,并求出相应的相似比.

思路点拨:由

可知AB∥CD,AD∥BC,再根据平行线找相似三角形.

解:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD,AD∥BC,

∴ △BEF∽△CDF,△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED.

∴ 当△BEF∽△CDF时,相似比;当△BEF∽△AED时,相似比;

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4