竞赛试题选讲之六：立体几何
一、选择题部分
1. （2006吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直 线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3 2.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为棱
过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成30角，
0AB上一点，则这样的直
线l的条数为（B）
A. 1 B .2 C. 3 D .4
3．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式
111 ??PQPRPS
（ ）
B．有最小值而无
A．有最大值而无最小值 最大值 C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数
解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=h=PQR·
1S△311PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，(PQ·
321111d1d1d1S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=?PQ·PRsinα+?PS·PRsinα+?PQ·PS·sin3333323232111sin?=常数。故选???PQPRPSdα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即D。
4．（2006年江苏）过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD?A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线
5.（2006天津）已知P为四面体S?ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底
面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 （ D ） A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆 6．（2006年南昌市）四棱锥P?ABCD的底面ABCD是单位正方形(A,B,C,D按反时针方向排列),侧棱PB垂直于底面,且PB＝3,记?APD??,则sin?＝（C）
共有（C）
A．0条
B．1条 C．4条 D．无数多条
A．
2 2B．
3 3C．
5 5D．
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7．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边
形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B） A．(1)(2)(5) B．(1)(2)(4) C．(2)(3)(4) D．(3)(4)(5)
【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。 ?选 【 B 】
8．(2005全国)如图，ABCD?A?B?C?D?为正方体。任作平面?与对角线AC?垂直，使得? 与正方体的每
个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ） A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥A?A?BD与C??D?B?C后，得到一个以平行平面A?BD与D?B?C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A?B?剪开，展平在一张平面上，得到一个
，显然A?B?B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与A?A1平行的线段（如图中E?E1）
E?E1?A?A1，故l为定值.
当E?位于A?B?中点时，多边形W为正六边形，而当E?移至A?处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为
3232l与l，故S不为定值。选B. 24369.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）
A．2006
B．1003
2C．1003?1003 D．1003?1002.
22解： 正2n边形A1A2?A2n，对角线共有
1?2n?(2n?3)?n(2n?3)条. 2计算与一边A1A2平行的对角线条数，因A1A2//An?1An?2，与A1A2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C. 10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形
顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条.
解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，
共C24?12?23?276，其中所有的棱都在原立方体的表面， 有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以 连
25?8?20条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此 2之外的直线都在原立方体的内部.
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二、填空题部分
1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s,则s的最大值为_
1_. 22．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，
则小球达不到的空间的体积的大小等于 44?31? ． 33．（2006年上海）在△ABC中，已知?A?30?,?B?105?，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC
3?CD??相交于点E，使得?CDE?60?，且DE将△ABC的面积两等分，则? ． ?AC6??4．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方
米，则它的体积为
2s24(m?n?p)(m?n?p)(p?m?n)(n?p?m) 立方米．
5．（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此
框架能容纳得下的最大球的半径为R1，能包容此框架的最小球的半径为R2，则
R13等于 . 3R26．（2006年江苏）长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知AB1?4，AD1?3，则对角线AC1的取值范围是
?4,5? ．
7．(2005全国)如图，四面体DABC的体积为
AC1，且满足?ACB?45?,AD?BC??3, 则CD?3. 62解：?111AD?(?BC?AC?sin45?)?VDABC?, 326AC2?1. AC2AC2第7题图
即AD?BC?又3?AD?BC??3AD?BC??3,
等号当且仅当AD?BC?AC2?1时成立，这时AB?1,AD?面ABC，?DC?3.
8．（2004 全国）如图、正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BD1?A1的度数是____.
解：连结D1C,作CE?BD1，垂足为E，延长CE交A1B于F，则
D1C1FE?BD1，
连结AE，由对称性知AE?BD1,??FEA是二面角
A1FEDB1CAB
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A?BD1?A1的平面角.连结AC，设AB=1，则 AC?AD1?2,BD1?3.
在Rt?ABD1中，AE?AB?AD1?BD1222， 3222
4?21. 在?AEC中,cos?AEC?AE?CE?AC?2AE?AC?3??42AE?CE2AE223
??AEC?1200,而?FEA是?AEC的补角，??FEA?600.
【原创】2008年高考立体几何问题研究综述
直线、平面、简单几何体是高考的必考内容。一般以客观题的形式考查基础知识，以解答题的形式考查综合问题。2008年高考立体几何的考点主要包括：空间位置关系的判断与论证，空间角与距离的计算，直线、平面、简单几何体与其它知识的交汇与运用等。试题设置形式和数量不一：有12份试卷是“两小一大”共三道题、4份试卷是“一小一大”共两道题、全国Ⅱ和四川卷是“三小一大”共四道题、江苏卷仅一道大题，分值由13?27不等，平均分不足22，题目难度一般仍在中等左右。
1、客观题的考查研究
1．1、线面位置关系的判断问题
例1. （湖南5）设有直线m、n和平面?、?.下列四个命题中，正确的是( ) A.若m∥?,n∥?,则m∥n B.若m??,n??,m∥?,n∥?,则?∥? C.若???，m??,则m?? D.若???，m??，m??,则m∥? 解析 对每个选支逐一分析判断，可得正确答案（D）。
评注 本题综合考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，同类的还有天津5、安徽4。线面位置关系的判断是立体几何的基本知识和基本技能，是高考的必考内容，多出现在填空、选择题中。 1．2、几何元素的计数问题
例2.（辽宁11）在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，
a EF，CD都相交的直线（ ）A．不存在 B．有且只有两条 b1
c1
b C．有且只有三条 D．有无数条
c 解析 方法1：易知三条异面直线A1D1，EF，CD平行于同一平面，记它 l G F E 们依次为a,b,c,在直线a上任取一点E，过E作直线b1?b,c1?c（如图1）。 设直线b1,b确定平面α，直线c1,c确定平面β，又两平面有公共点E，故它
? 图1
? 们必交于过E的一条直线l。在α内直线l与b1交于E，则必与b1的平行线b相交，记交点为F；同理记直线l与c的交点为G，则直线l与直线a,b,c分别交于点E，F，G。因为点E是任取的，故这样的直线有无数条。 方法2：过直线a的平面旋转扫过全空间时，除去与b,c都平行的平面外，其余位置上的平面都与b,c同
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时相交（记交点为M，N），这些同时与b,c相交的平面中，除一个会出现MN∥a外，其余的直线MN都与直线a相交，因此这样的直线有无数条。
方法3：在直线EF上任取一点P，则P与直线A1D1确定一个平面γ，该平面与直线CD必有交点，记为Q，直线PQ与直线A1D1共面且不平行，故它们必有交点，这样直线PQ与直线A1D1，EF，CD都相交，又直线PQ随P的变化而变化，故这样的直线有无数条。
评注 本题以正方体为载体研究三条异面直线有公共交线的问题，有一定的难度，极易错选为（C）（3条直线为DE，AC，同类的试题还有四川９。例2源于“1997年全国高中联赛题：如果空间三条直线1,D1F）a,b,c两两成异面直线，那么，与直线a,b,c都相交的直线有（D）（A）0条，（B）1条，（C）多于1的有限条，（D）无穷多条”。此赛题中的直线a,b,c可以不共面，故可“不妨构造平行六面体”求解，而例2不可用这种方法求解。几何元素的计数问题可较好地考查空间想象能力和思维的发散能力。 1．3、组合体问题
例3.（1）（江西16）如图2，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图3）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
（2）（海南15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
图2
图3
PP9，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______ 8图4
（3）（重庆 9)如图4，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大 球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中 心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大 球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ） （A）V1=
VV (B) V2= （C）V1> V2 （D）V1< V2 2213a，故A错；侧放时，Sh?h?32S解析 （1）、图2中设底面积为S，正四棱锥的高为h，则a=Sh?有一半的水填在空白，而水的体积与上面空白体积相等，故B对；任意摆放时，如水面与正四棱锥的侧面平行
时，水面不会恰好是侧面，因而水面不会恰好过点P；由两次操作可知D正确，因此填B,D。
（2）、设该六棱柱的高为h。由底面正六边形的周长为3，得底面边长为
1，过底面中心的对角线长为1，2底面正六边形面积为S?6?
31233339?()?h??h?3。过底面中心和球心的六棱柱的，则有42888共8页 第5页