平面向量的数量积及平面向量的应用
【选题明细表】 知识点、方法 数量积的运算 长度及垂直问题 夹角问题 平面向量的应用 题号 1、4、9 1、2、3、5 7、10 6、8、11、12 一、选择题 1.(2012年高考重庆卷)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，则|a+b|等于( B ) (A)
(B)
(C)2
(D)10
解析:∵a⊥b，∴x-2=0， ∴x=2. ∴|a+b|=
=
=
=
.故选B.
2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1，0)，B(1，3)，向量a=(2k-1，2)，若则实数k的值为( C )
(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2 解析:由
=(2，3)，因为
⊥a，
⊥a，
所以2(2k-1)+2×3=0， 得k=-1，故选C.
3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是( B )
(A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a-b
22
解析:法一 代数法:将原式平方得|a+b|=|a-b|，
2222
∴a+2a·b+b=a-2a·b+b，∴a·b=0，∴a⊥b， 故选B.
法二 几何法:如图所示， 在?ABCD中，设
=a，
=b，
∴
=a+b，=a-b，
1
∵|a+b|=|a-b|，
∴平行四边形两条对角线长度相等，即平行四边形ABCD为矩形， ∴a⊥b，故选B.
4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6，|b|=3，a·b=-12，则向量a在向量b方向上的投影是( A )
(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2 解析:cos
=
=-，
向量a在向量b方向上的投影为 |a|cos
故选A.
5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b，|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120°，则|2a+b|等于( A ) (A)2
(B)4
(C)2
2
(D)6
2
2
2
2
解析:由题意可知|2a+b|=4a+b+4a·b=4|a|+|b|+4|a||b|·cos 120°=4，所以|2a+b|=2，故选A.
6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ，sin θ)，向量b=(的最大值和最小值分别为( B ) (A)4
，0 (B)4，0 (C)16，0 (D)4，4
，2sin θ-1)|
，1)，则|2a-b|
解析:|2a-b|=|(2cos θ-
=
=，
所以最大值和最小值分别为4，0. 故选B. 二、填空题 7.
单位圆上三点A，B，C满足
+
+
=0，则向量
，
的夹角为 .
解析:∵A，B，C为单位圆上三点 ， ∴|
|=|
|=|
|=1，又
+
+
=0，
2
∴-=+，
∴=(+)2
=
++2·，
可得cos<，>=-，
∴向量，的夹角为120°.
答案:120°
8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3
|的最小值为 .
解析:如图建立平面直角坐标系， 设C(0，b)，则B(1，b)， 又A(2，0)，设P(0，y)， 则
+3
=(2，-y)+3(1，b-y)=(5，3b-4y)，
∴|+3|2=25+(3b-4y)2
，
∴当3b-4y=0，即y=b时，
|+3|2
的最小值为25.
∴|+3|的最小值为5.
答案:5
9.(2012德州一模)已知a=(m，n)，b=(p，q)，定义a?b=mn-pq，下列等式中， ①a?a=0;②a?b=b?a;③(a+b)?a=a?a+b?a;
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