专题16 圆锥曲线中的热点问题
y2x2y2
1．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围
m＋2nmn为( )
A.?
x2
?2?
，1? ?2?
B.?0，?
?2?? 2?
C．(0,1) 【答案】：A
?1?D.?0，?
?2?
【解析】：由题意知m>0，n<0，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m＋2＋n＝m－n，n＝－1，∴e＝
m＋2＋n＝m＋2m＋1
＝m＋2
1－
1?2?∈?，1?. m＋2?2?
2．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，
43那么直线PA1斜率的取值范围是( )
x2y2
?13?A.?，? ?24??1?C.?，1? ?2?
【答案】：B
?33?B.?，?
?84??3?D.?，1? ?4?
x2y200
y20
3
【解析】：椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得2＝－.
43x0－44而kPA2＝
3?33?，kPA1＝，所以kPA2·kPA1＝2＝－.又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈?，?.
x0－2x0＋2x0－44?84?
2
y0y0y20
3．过定点C(0，p)的直线与抛物线x＝2py(p>0)相交于A，B两点，若点N是点C关于坐标原点的对称点，则△ANB面积的最小值为( )
A．22p C．22p 【答案】：C
2
B.2p D.2p
2
4．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为
( )
A.6 2
B.35
5
3C. 2【答案】：B
D.3
x2y22222【解析】：依题意，设题中的双曲线方程是2－2＝1(a>0，b>0)，则有a＋b＝9，b＝9－a.由
aby＝x－1??22?xy2－2＝1??ab2
x2x－
消去y，得2－ab2
2
＝1，即(b－a)x＋2ax－a(1＋b)＝0(*)有实数解，注意到当b2222222
－a＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e＝2；当b－a≠0时，Δ＝4a＋4a(b－a)(1＋b)≥0，933352222222222
即a－b≤1，a－(9－a)≤1(b＝9－a>0且a≠b)，由此解得0 2a5535 综上所述，该双曲线的离心率的最小值是，选B. 5 2242222 x2y2 5．已知点F是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的 ab直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A．(1，＋∞) C．(2,1＋2) 【答案】：B B．(1,2) D．(1,1＋2) b2b2【解析】：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则 aac?b2 6．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，O是坐标原点， 168→→→ 若M是∠F1PF2的平分线上一点，且F1M·MP＝0，则|OM|的取值范围是( ) A．[0,3) C．[22，3) 【答案】：B B．(0,22) D．(0,4] x2y2 x2y2 7．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点且|PF1|＝2|PF2|，则此双 ab曲线离心率的取值范围是________． 【答案】：(1,3] 【解析】：由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，而由题意|PF1|＝2|PF2|，故|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.又|F1F2|＝2c，由三角不等式有6a≥2c.又由定义有c>a，故离心率e＝∈(1,3]． 8．已知P为抛物线y＝4x上一个动点，Q为圆x＋(y－4)＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________． 【答案】：17－1 【解析】：由题意知，圆x＋(y－4)＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和O 即为点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1. 9．设抛物线y＝6x的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中|MN|点M作抛物线准线的垂线为MN，垂足为N，则的最大值为________． |AB| 【答案】：1 2 2 2 2 2 2 ca y2x26 10．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2. ab3