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21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
※教学目标※ 【知识与技能】
1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p?0)的一元二次方程. 2.初步了解形如(x+n)=p(p?0)的方程的解法.
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 【过程与方法】
在学习与探究中是学生体会类比、转化、降次的数学思想及运用类比进行学习的方法. 【情感态度】
使学生在学习中体会愉悦与成功感,感受数学学习的价值. 【教学重点】
熟练而准确地运用直接开平方法求解一元二次方程. 【教学难点】
探究(x+n)=p(p?0)的解的情况,培养分类要论的思想. ※教学过程※ 一、复习导入
如果x2=a,那么x叫做a的 ,记作 ;如果x2=4,那么记作 ;3的平方根是 ;0的平方根是 ;-6的平方根是 . 二、探索新知
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探究问题 一桶油漆可刷的面积为1500dm,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗大?
教师设置如下问题学生讨论:
如果设一个盒子的棱长为x dm,则它的外表面积为多少?10个这种盒子的外表面积的和为多少?由此可得到的方程又是怎样的?你能求出它的解吗?
讨论结果:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为6x2dm.根据一桶油漆可刷的面积,列出
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22方程10?6x21500.整理,得x2=25.根据平方根的意义,得x=?5,即x1=5,x2=-5.可以验证,5和-5是方程的两个根,因为棱长不能是负值,所以盒子的棱长为5dm.
归纳总结
一般地,对于方程x2=p,(Ⅰ)
(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程(Ⅰ)有两个不相等的实数根x1=-p,x2=p; (2)当p=0时,方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x230,所以方程(Ⅰ)无实数根.
学生思考
对照上面解方程(Ⅰ)的过程,你认为应怎样解方程(x+3)=5? 学生通过比较它与方程x2=25的异同,从而获得解一元二次方程的思路.
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在解方程(Ⅰ)时,由方程x2=25得x=?5.由此想到:由方程(x+3)=5,得x+3=?5,即x+3=5,或x+3=-5.于是,方程(x+3)=5的两个根为x1=-3+5,x2=-3-5.
归纳总结
上面的解法中,由方程(x+3)=5到x+3=5,或x+3=-5,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根,则必然有两个实数根,通常记为x1=a,x2=b. 三、掌握新知
例 解下列方程:(1)2x2-8=0;(2)9x2-5=3;(3)(x+6)-9=0;(4)3(x-1)-6=0;(5)x2-4x+4=5;(6)9x2+5=1.
解:(1)整理,得2x2=8,即x2=4.根据平方根的意义,得x=?2, 即x1=2,x2=-2.
2222228 (2)整理,得9x2=8,即x2=.两边开平方,得x=?,即x1=. ,x2=-333922222 (3)整理,得(x+6)=9.根据平方根的意义,得x+6=?3,即x1=-3,x2=-9.
(4)整理,得3(x-1)=6,即(x-1)=2.两边开平方,得x-1=?2,即x1=1+2,x2=1-2. (5)原方程可化为(x-