量子力学初步
?1. 设描述微观粒子运动的波函数为??r,t?，则???表示?______________________________________；??r,t?须满足的条件是______________________________________________________________.
2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D2倍、增大2D倍、增大D倍或不变)
3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a），其波函数为
；
其
归
一
化
条
件
是
??x??23?xsinaa?0?x?a?
粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________.
4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a=0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量?py= _________N·s.
(普朗克常量h=6.63×10-34 J·s)
5. 波长?= 5000 ?的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量??= 10-3 ?，则利用不确定关系式?px?x?h可得光子的x坐标的不确定量至少为_________.
6. 粒子做一维运动，其波函数为
??x??Axe??x0x?0x?0
式中?>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________.
7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现.
8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a，应用测不准关系估计势阱中质量为m的粒子的零点能量为____________.
9. 按照普朗克能量子假说，频率为?的谐振子的能量只能为_________；而
从量子力学得出，谐振子的能量只能为___________.
10. 频率为?的一维线性谐振子的量子力学解，其能量由下式给出：______________________，其中最低的量子态能量为__________，称为“零点能”.
11. 根据量子力学，粒子能透入势能大于其总能量的势垒，当势垒加宽时，贯穿系数__________；当势垒变高时，贯穿系数________. (填入：变大、变小或不变)
??__________；?x?__________；H12. 写出以下算符表达式：p??__________. Ly?与p?x的对易关系?x?,p?x?等于__________. 13. x14. 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数
?n?x??Asinn?xa?n?1,2,3,??
的归一化形式. 式中a为势阱宽度.
15. 利用不确定关系式?x?px?h，估算在直径为d = 10-14 m的核内的质子最小动能的数量级.
（质子的质量m=1.67×10-27 kg， 普朗克常量h=6.63×10-34 J·s） 16. 已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为
?n?x??2n?xsinaa,n?1,2,3,?
试计算n=1时，在x1=a/4 → x2=3a/4 区间找到粒子的概率.
17. 一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两段固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a必须等于德布罗意波半波长的整数倍。试利用这一条件求出能量量子化公式
h22En?n 28ma18. 一弹簧振子，振子质量m = 10-3 kg，弹簧的劲度系数km=10 N·m-1. 设它作简谐振动的能量等于kT（k为玻尔兹曼常量），T=300 K. 试按量子力学结
果计算此振子的量子数n，并说明在此情况下振子的能量实际上可以看作是连续变化的. （k=1.38×10-23 J·K-1，h=6.63×10-34 J·s）
19. 一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，如图所示. 描写粒子
1状态的波函数为??cx(l?x)，其中c为待定常量. 求在0～l区间发现该粒
3子的概率.
20. 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸汽的容器。射入的高速电子使气体分子或原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸汽凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状痕迹，即粒子的轨迹。径迹的线度是10-4 cm，云室中的电子动能等于108 eV。讨论威尔逊云室中的电子是否可以看成经典粒子? 21. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为
?n?x??2?n?x?sin??,?0?x?a?a ?a??n?x??0,?x?0,x?a?试计算动量和动能的平均值.
22. 谐振子的归一化的波函数为??x??11u0(x)?u2(x)?cu3(x)。其中，32un(x)是归一化的谐振子的定态波函数。求：c和能量的可能取值，以及平均能量E。
23. 氢原子的直径约10-10 m，求原子中电子速度的不确定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运动，它的速度是多少？结果说明什么问题？